Question

10．如圖，絕緣、光滑斜面傾角θ=37°，在區(qū)域I內有垂直于斜面向上的勻強磁場，區(qū)域II內有垂直于斜面向下的勻強磁場，磁感應強度大小均為B=1T，寬度均為d=0.4m，MN為兩磁場的分界線．質量為0.06kg的矩形線框abcd，邊長分別為L=0.6m和d=0.4m，置于斜面上端某處，ab邊與磁場邊界、斜面底邊平行．由靜止釋放線框，線框沿斜面下滑，恰好勻速進入區(qū)域I．已知線框的總電阻R=0.5Ω．
（1）求ab邊在區(qū)域I內運動時，線框的速度v₀的大小；
（2）求當ab邊剛進入區(qū)域Ⅱ時，線框的發(fā)熱功率P；
（3）將ab邊進入區(qū)域Ⅱ時記為t=0時刻，為使線框此后能以大小為0.4m/s²、沿斜面向上的加速度做勻變速運動，需在線框上施加一沿斜面方向的外力，求t=0時的外力F．
（4）請定性地描述在題（3）的情景中，t=0之后外力F隨時間t變化的情況．

Answer 1

分析 （1）ab邊在區(qū)域I內勻速運動，根據力的平衡條件結合安培力的計算公式列方程求解；
（2）根據閉合電路的歐姆定律和電功率的計算公式聯立求解；
（3）根據安培力計算公式和牛頓第二定律聯立求解外力的大小和方向；
（4）分析線框的運動情況和受力情況，確定外力F先沿斜面向下均勻減��；再沿斜面向上均勻增大；再突然減�。辉傺匦泵嫦蛏暇鶆蛟龃�；又突然減小；最后沿斜面向上保持不變．

解答 解：（1）ab邊在區(qū)域I內勻速運動，根據力的平衡可得：mgsin37°=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$，
解得v₀=0.5m/s；
（2）ab邊剛過MN時，根據閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{2BL{v}_{0}}{R}$=$\frac{2×1×0.6×0.5}{0.5}$A=1.2A
線框的發(fā)熱功率：P_A═I²R=1.2²×0.5W=0.72W；
（3）t=0時，根據安培力計算公式可得：F_A=2BIL=2BL$•\frac{2BL{v}_{0}}{R}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$=4mgsin37°
根據牛頓第二定律可得：ma=F_A-mgsin37°-F 
聯立解得：F=F_A-mgsin37°-ma=3mgsin37°-ma=3×0.06×10×0.6N-0.06×0.4N=1.056N，
沿斜面向下；
（4）線框減速到零所需時間：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{0.5}{0.4}$s=1.25s，
下行距離s₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{0．{5}^{2}}{2×0.4}$=0.3125m＜d，所以線框下行未出區(qū)域II便開始沿斜面向上運動．
隨著時間t的變化：外力F先沿斜面向下均勻減�。辉傺匦泵嫦蛏暇鶆蛟龃�；再突然減��；再沿斜面向上均勻增大；又突然減�。蛔詈笱匦泵嫦蛏媳３植蛔儯�
0～2.5s期間ab邊在區(qū)域II運動，根據牛頓第二定律可得：a=F_A-mgsin37°-F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$mgsin37°-F
F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$-mgsin37°-ma
t=0時，F=1.056N，沿斜面向下
t=2.5s時，F=-1.824N，沿斜面向上
突變后F=-0.744N，沿斜面向上
ab出區(qū)域II前后：F=-0.924N突變?yōu)?0.384N
設t=t₃時刻ab邊恰好出區(qū)域II，-0.4=0.5t₃-$\frac{1}{2}$×0.4×t₃²
可求出t₃≈3.14s，此刻速度約為0.75m/s
F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$-mgsin37°-ma，此過程ma=F_A-mgsin37°-F，因為F_A隨時間線性變化，所以F也隨時間t線性變化，
F=1.056N，沿斜面向下；
0.25sab邊再次回到分界線MN，t’=2×$\frac{{v}_{0}}{a}$=2×$\frac{0.5}{0.4}$s=2.5s
此時F_A=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$=4 mgsin37°，沿斜面向下
F=F_A+mgsin37°+ma=5mgsin37°+ma=5×0.06×10×0.6N+0.06×0.4N=1.824N，沿斜面向上．
答：（1）ab邊在區(qū)域I內運動時，線框的速度v₀的大小為0.5m/s；
（2）當ab邊剛進入區(qū)域Ⅱ時，線框的發(fā)熱功率為0.72W；
（3）t=0時的外力的大小為1.056N，沿斜面向下；
（4）F先沿斜面向下均勻減��；再沿斜面向上均勻增大；再突然減��；再沿斜面向上均勻增大；又突然減��；最后沿斜面向上保持不變．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解．