Question

（2008?湖北模擬）如圖甲所示，PQNM是表面粗糙的絕緣斜面，abcd是質(zhì)量m=0.5kg、總電阻R=O．5Q、邊長L=O．5m的正方形金屬線框，線框的匝數(shù)N=10．將線框放在斜面上，使斜面的傾角θ由O°開始緩慢增大，當(dāng)θ增大到37°時，線框即將沿斜面下滑．現(xiàn)保證斜面的傾角θ=37°，在00′NM的區(qū)域加上垂直斜面方向的勻強(qiáng)磁場，使線框的一半處于磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t變化的圖象如圖乙所示．
（1）試根據(jù)圖乙求出B隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系式．
（2）在t=O時刻線框是否會沿斜面運(yùn)動？若要運(yùn)動，請說出理由；若不運(yùn)動，請求出從t=O時刻開始經(jīng)多長時間線框即將發(fā)生運(yùn)動．（g取10m/s²，sin 37°=O．6）

Answer 1

分析：（1）從乙圖看出，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t均勻增大，由數(shù)學(xué)知識求出斜率，即可得到B的表達(dá)式；
（2）不加磁場時，當(dāng)θ=37°時，線框即將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好到達(dá)最大值，由平衡條件可求得最大靜摩擦力．加了磁場后，線框受到的安培力方向在斜面平面內(nèi)，線框?qū)π泵娴膲毫Σ蛔�，最大靜摩擦力不變．當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大時，根據(jù)楞次定律得知線框受到的安培力沿斜面向上．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式求出t=0時刻線框所受的安培力大小，判斷線框能否向上運(yùn)動．隨著安培力的增大，當(dāng)線框所受的靜摩擦力沿斜面向下時，當(dāng)線框剛要上滑時，靜摩擦力達(dá)到最大值，由平衡條件求出此時的安培力和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，即可由B的表達(dá)式求得時間．

解答：解：（1）由圖乙所示圖線可知：磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t均勻增大，所以B=B₀+kt，其中B₀=0.2T，
   k=

0.6-0.2

1

=0.4T/s
所以B=0.2+0.4t（T）
（2）不加磁場時，由題意知，當(dāng)θ=37°時，線框既將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好達(dá)到最大值f_max，由平衡條件有
   f_max=mgsinθ=0.6mg=3N．
加磁場后，由于壓力不變，故f_max的大小不變．
無論磁場方向垂直斜面向上還是向下，由楞次定理可知，當(dāng)穿過線框的磁通量增大時，線框受到的安培力沿斜面向上，因此線框若是運(yùn)動，則應(yīng)沿斜面向上．應(yīng)滿足F_安≥mgsinθ+f_max=6N，
由法拉第電磁感應(yīng)定律有
   E=N

△Φ

△t

=N?

s

2

?

△B

△t

=

NkL2

2

=0.5V
由閉合電路歐姆定律知，電流I=

E

R

=1A，
在t=0時刻cd邊受到的安培力F₀=NILB₀=1N，
故F₀＜mgsinθ+f_max，
所以在t=0時刻，線框不會沿斜面下滑，也不會沿斜面上滑；
當(dāng)摩擦力方向沿斜面向下達(dá)到最大值時，線框即將沿斜面向上運(yùn)動，此時線框受力如圖所示，由平衡條件有 
   F_安=NBIL=mgsinθ+f_max=6N
得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1.2T，
由（1）知，B=0.2+0.4t，
則所經(jīng)歷時間為t=2.5s．
答：
（1）根據(jù)圖乙得到B隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系式是B=0.2+0.4t（T）．
（2）從t=O時刻開始經(jīng)2.5s時間線框即將發(fā)生運(yùn)動．

點評：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識，要抓住線框剛要滑動時靜摩擦力牽線最大值這個臨界條件．當(dāng)穿過線框中磁通量均勻增大時，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變．