Question

豎直放置的平行金屬板M、N相距d=0.2m，板間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，極板按如圖所示的方式接入電路．足夠長(zhǎng)的、間距為L(zhǎng)=1m的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF水平放置，導(dǎo)軌間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B．電阻為r=1Ω的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置且與導(dǎo)軌接觸良好．已知滑動(dòng)變阻器的總阻值為R=4Ω，滑片P的位置位于變阻器的中點(diǎn)．有一個(gè)電荷量為q=+2.0×10^-5C的帶電小球，沿光滑斜面下滑后從兩板中間左端沿中心線水平射入場(chǎng)區(qū)．（g=10m/s²）

（1）小球從高H=0.45m處由靜止開(kāi)始下滑，到C點(diǎn)時(shí)速度v₀多大？
（2）若金屬棒ab靜止，小球以初速度v₀射入后，恰從兩板間沿直線穿過(guò)，求小球的質(zhì)量m=？
（3）當(dāng)金屬棒ab以速度v=1.5m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求：小球從多高的地方滑下時(shí)，小球恰能垂直的打在金屬板M上．

Answer 1

分析：根據(jù)動(dòng)能定理求到底端的速度；金屬棒ab靜止時(shí)，MN間只有磁場(chǎng)，球受重力和洛倫茲力平衡；當(dāng)金屬棒ab向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，受到的電場(chǎng)力與重力平衡，小球在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直打到M板時(shí)的半徑為板間距的一半，由洛倫茲力充當(dāng)向心力求速度，再由動(dòng)能定理求下降的高度．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理：mgH=

1

2

mv²₀-0        
解得：v₀=

2gH

=

2×10×0.45

=3m/s         
（2）金屬棒ab靜止時(shí)，MN間只有磁場(chǎng)，由平衡條件有：
qBv₀=mg                       
解得：m=

qv0B

g

=

2.0×10-5×3×0.5

10

=3×10^-6kg       
（3）當(dāng)金屬棒ab向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 
E=BLv=0.5×1×1.50.75V     
板間電壓：U=

E

r+R

R

2

=

0.75

4+1

×

4

2

=0.3V     
小球進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受電場(chǎng)力：F電=q

U

d

=

2×10-5×0.3

0.2

=3×10^-5N=mg
可見(jiàn)，小球進(jìn)入磁場(chǎng)后只受洛倫磁力的作用，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為r₀，
則有：qvB=m

v2

r0

     
垂直打在金屬板上，則得：r0=

d

2

解得：v=

Bqd

2m

=

0.5×2×10-5×0.2

2×3×10-6

=

1

3

m/s
A→C：由動(dòng)能定理：mgH=

1

2

mv²-0        
解得：H=

v2

2g

=

1 9

2×10

=

1

180

m      
答：（1）小球從高H=0.45m處由靜止開(kāi)始下滑，到C點(diǎn)時(shí)速度3m/s；
（2）若金屬棒ab靜止，小球以初速度v₀射入后，恰從兩板間沿直線穿過(guò)，求小球的質(zhì)量3×10^-6kg；
（3）當(dāng)金屬棒ab以速度v=1.5m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球從

1

180

m高的地方滑下時(shí)，小球恰能垂直的打在金屬板M上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了僅有洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；洛倫茲力與電場(chǎng)力相等時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)；動(dòng)能定理的應(yīng)用，是綜合性較大的題目．