Question

14．如圖所示，可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的金屬桿a，從高為h處由靜止開始沿光滑的平行金屬導(dǎo)軌滑下，并進(jìn)人光滑的水平平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，在水平導(dǎo)軌區(qū)域有豎直向上磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，水平導(dǎo)軌上靜止放置著一個(gè)質(zhì)量為2m的金屬桿b．的已知水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，a桿和b桿在導(dǎo)軌上始終未發(fā)生碰撞，金屬桿a、b的電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，金屬棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)金屬桿a經(jīng)過(guò)傾斜導(dǎo)軌與水平導(dǎo)軌接觸時(shí)的機(jī)械能損失，求：
（1）金屬桿a剛滑上水平導(dǎo)軌時(shí)金屬桿b的加速度大��；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)軌及金屬桿消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）a從斜軌上高h(yuǎn)處自由滑下，只有重力做功，由動(dòng)能定理求出a剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大�。�進(jìn)入磁場(chǎng)后，a切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培力，由法拉第電磁感應(yīng)定律E=BLv和閉合電路歐姆定律結(jié)合求出回路中感應(yīng)電流，由F=BIL求得b棒所受的安培力，再由牛頓第二定律求b的加速度；
（2）分析兩棒以后的運(yùn)動(dòng)情況：a棒在磁場(chǎng)中向右滑動(dòng)的過(guò)程中，受到向左的安培力，做減速運(yùn)動(dòng)，b所受的安培力向右，做加速運(yùn)動(dòng)．兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反，電路中電流減小，最終a、b棒以相等的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，a、b棒所受安培力等大反向，系統(tǒng)合力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)相等的速度，由能量守恒定律求解電路中產(chǎn)生的電能．

解答 解：（1）對(duì)a棒下滑過(guò)程，由動(dòng)能定理有：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
得：v=$\sqrt{2gh}$
a棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律有：E=BLv
由閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{2R}$
對(duì)b棒，由牛頓第二定律：BIL=2ma
聯(lián)立解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{4Rm}$
（2）a棒在磁場(chǎng)中滑動(dòng)過(guò)程中，a所受安培力向左，做減速運(yùn)動(dòng)，b所受安培力向右，做加速運(yùn)動(dòng)．兩棒都產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，而這兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相反，電路中電流減小，最后a、b棒以相等的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，a、b棒所受安培力等大反向，系統(tǒng)合力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，則有：
   mv=3mv₁
由能量守恒有：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}•3m{v}_{1}^{2}$+Q
聯(lián)立解得：Q=$\frac{2}{3}$mgh
答：（1）金屬桿a剛滑上水平導(dǎo)軌時(shí)金屬桿b的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{4Rm}$；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)軌及金屬桿消耗的電能是$\frac{2}{3}$mgh．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿模型，解決本題的關(guān)鍵能夠正確受力分析，判斷兩棒最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，結(jié)合牛頓定律和動(dòng)量守恒、能量守恒進(jìn)行研究．