Question

16．如圖所示，在第一象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與y軸平行，在x軸下方有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子以平行x軸的速度v₀從y軸上的P點(diǎn)處射入電場(chǎng)，在x軸的Q點(diǎn)處進(jìn)入磁場(chǎng)，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O處離開(kāi)磁場(chǎng)．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交于M點(diǎn)．已知OP=l，OQ=$2\sqrt{3}l$．不計(jì)重力．求：
（1）M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離
（2）粒子從Q運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸方向的夾角．根據(jù)幾何關(guān)系求出M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O間的距離．
（2）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，結(jié)合類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在y軸負(fù)方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度的大小為a；
在x軸正方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為v₀；粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)所用的時(shí)間為t₁，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為θ，
由牛頓第二定律得：qE=ma…①
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\sqrt{\frac{2{y}_{0}}{a}}$．． ②
水平初速度：v₀=$\frac{{x}_{0}}{{t}_{1}}$…③
其中：x₀=2$\sqrt{3}$l，y₀=l，tanθ=$\frac{a{t}_{1}}{{v}_{0}}$…④
聯(lián)立②③④解得：θ=30°…⑤
由幾何關(guān)系知MQ為直徑，R=2$\sqrt{3}$l…⑥
MO=$\sqrt{M{Q}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（2×2\sqrt{3}l）^{2}-（2\sqrt{3}l）^{2}}$=6l…⑦
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v，從Q到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則有
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$…⑧
t₂=$\frac{πR}{v}$…⑨
從Q點(diǎn)到M點(diǎn)所用的時(shí)間為：t₂=$\frac{3}{2}$π$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$；
（1）M點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為6l；
（2）粒子從Q運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{3}{2}$π$\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是知道粒子在各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，再分別應(yīng)用不同的知識(shí)去求解，可以先畫(huà)出草圖再分析；本題考查了求粒子運(yùn)動(dòng)的距離、粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可正確解題．