Question

2．如圖所示，一個由某種透明材料制成的半徑為R的$\frac{1}{4}$球體放置在水平桌面上，現(xiàn)有一束位于過球心O的豎直平面內(nèi)的單色光線，平行于桌面射到球體表面上，如圖光線與桌面間的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光線折射入球體后再從豎直面射出，出射角θ=60°，求該單色光在這種透明材料中發(fā)生全反射得臨界角C．（最后結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 完成光路圖，根據(jù)幾何關(guān)系分析光線在圓弧上的折射角與在豎直平面上入射角的關(guān)系，結(jié)合光路可逆性原理求出折射角，從而求得折射率，再由sinC=$\frac{1}{n}$求全反射臨界角C．

解答 解：如圖，設(shè)入射光線與$\frac{1}{4}$球體的交點為C，連接C、O，OC即為入射點的法線，α為入射角．過C作球體水平表面的垂線，垂足為B，則  α=∠AOB ①
又由△AOB知：sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  …②
 可得 α=60°  …③
設(shè)光線在C點的折射角為β，在球體的豎直表面上的入射角為γ，由折射定律得
   n=$\frac{sinα}{sinβ}$  …④
由幾何關(guān)系知 α=γ+β  …⑤
再由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinγ}$…⑥
由于α=θ，可知 β=γ
所以 β=γ=30° …⑦
由④式得   n=$\sqrt{3}$  …⑧
由  sinC=$\frac{1}{n}$  …⑨
得 C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$  …⑩
答：該單色光在這種透明材料中發(fā)生全反射得臨界角C是arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 當(dāng)光線從球體入射時，法線即是入射點與球心的連線；當(dāng)光線射出球體時，法線與界面垂直．本題兩次使用折射定律和幾何關(guān)系結(jié)合進(jìn)行研究．