Question

物塊A與豎直輕彈簧相連，放在水平地面上，一個(gè)物塊B由距彈簧上端O點(diǎn)H高處自由落下，落到彈簧上端后將彈簧壓縮．為了研究物塊B下落的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律和物塊A對(duì)地面的壓力隨時(shí)間變化的規(guī)律，某位同學(xué)在物塊A的正下方放置一個(gè)壓力傳感器，測(cè)量物塊A對(duì)地面的壓力，在物塊B的正上方放置一個(gè)速度傳感器，測(cè)量物塊B下落的速度．在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得：物塊A對(duì)地面的最小壓力為P₁，當(dāng)物塊B有最大速度時(shí)，物塊A對(duì)地面的壓力為P₂．已知彈簧的勁度系數(shù)為k，物塊B的最大速度為v，重力加速度為g，不計(jì)彈簧的質(zhì)量．
（1）物塊A的質(zhì)量．
（2）物塊B在壓縮彈簧開(kāi)始直到B達(dá)到最大速度的過(guò)程中，它對(duì)彈簧做的功．
（3）若用T表示物塊B的速度由v減到零所用的時(shí)間，用P₃表示物塊A對(duì)地面的最大壓力，試推測(cè)：物塊的速度由v減到零的過(guò)程中，物塊A對(duì)地面的壓力P隨時(shí)間t變化的規(guī)律可能是下列函數(shù)中的______（要求說(shuō)明推測(cè)的依據(jù)）
A．P=P₂+（P₃-P₂）

t

T

B．P=P₁+（P₃-P₁）

t

T

C．P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

D．P=P₁+（P₃-P₁）

πt

2T

．

Answer 1

（1）物塊B沒(méi)有落到彈簧上時(shí)，物塊A對(duì)地面的壓力為最小壓力，設(shè)此時(shí)物塊A受重力為m_Ag，物塊受m_Ag和地面的支持力處于平衡，故：P₁=m_Ag
所以物塊A的質(zhì)量：m_A=

p1

g

①
（2）物塊B落到彈簧上，將彈簧壓縮，當(dāng)物塊B的重力等于彈簧的彈力，物塊B有最大速度．設(shè)物塊B的質(zhì)量為m_Bg，有最大速度時(shí)彈簧壓縮量為x₁，則：
kx₁=m_Bg②即彈簧產(chǎn)生的彈力為m_Bg
此時(shí)，由物塊A受彈簧的壓力、重力和地面的支持力處于平衡，則有：P₂=m_Ag+m_Bg③
物塊B由靜止開(kāi)始落下，到達(dá)最大速度的過(guò)程中，重力做功m_Bg（H+x₁），設(shè)克服彈簧的彈力做功W，根據(jù)動(dòng)能定理，有：

1

2

mv²=m_Bg（H+x₁）-W④
將①②③式代人④式，得物塊B對(duì)彈簧做功W=（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）應(yīng)為C
物塊B與彈簧接觸后，在重力和彈力作用下，在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為4T．物塊A對(duì)地面的壓力大小P等于A的重力與彈簧的彈力之和．則P隨時(shí)間變化的關(guān)系只可是正弦函數(shù)，AB選項(xiàng)都不正確．當(dāng)t=0時(shí)，壓P=P₂；當(dāng)t=T時(shí)，壓力最大為P₃．只有選項(xiàng)C正確．
另物塊B與彈簧接觸后，在重力和彈力作用下，在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．其平衡位置在物塊B具有最大速度處，設(shè)平衡位置為0′，建立O′x坐標(biāo)系，以豎直向下為正方向，有
m_Bg-F_彈=-kx⑤
物塊B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為4T，在速度由最大變到零的四分之一周期內(nèi)，設(shè)最大位移為x_m，振動(dòng)位移為
x=x_msin（

πt

2T

）⑥F_彈=m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
物塊A對(duì)地面的壓力為P=m_Ag+m_Bg+kx_msin（

πt

2T

）
代人③式得P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

⑦
當(dāng)t=T時(shí)，壓力最大為P₃，即P₃=P₂+kx_msin（

πt

2T

）得：kx_mn=P₃-P₂
壓力P隨時(shí)間t變化的規(guī)律為P=P₂+（P₃-P₂）

πt

2T

答：（1）A的質(zhì)量為

p1

g

（2）B在壓縮彈簧開(kāi)始直到B達(dá)到最大速度的過(guò)程中，它對(duì)彈簧做的功為（P₂-P₁）（H-

p2-p1

k

）-

(p2-p1)mv2

2g

（3）選C