Question

17．一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點，如圖1所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點的豎直面內(nèi)做圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規(guī)律如圖2所示．F₁=7F₂．設(shè)R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力說法正確的是（　�。�

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}}{7m}$
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 該星球的質(zhì)量為$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$
• D． 小球在圓周運動過程中，加速度方向始終指向圓心，角速度大小不斷變化

Answer 1

分析 對砝碼受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大�。�
根據(jù)萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量．

解答 解：A、設(shè)砝碼在最低點時細(xì)線的拉力為F₁，速度為v₁，由牛頓第二定律得：F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
設(shè)砝碼在最高點細(xì)線的拉力為F₂，速度為v₂，由牛頓第二定律得：F₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…②
由機(jī)械能守恒定律得 mg•2r+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁² …③由①②③解得：g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$…④
已知：F₁=7F₂，所以該星球表面的重力加速度為：$\frac{{F}_{1}}{7m}$，故A正確．
B、根據(jù)萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B錯誤．
C、在星球表面，萬有引力近似等于重力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g…⑤，由④⑤解得：M=$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$，故C正確；
D、小球在圓周運動過程中，加速度方向始終指向圓心，運動過程線速度v不斷變化而軌道半徑r不變，由v=ωr可知，小球的角速度不斷變化，故D錯誤；
故選：AC．

點評 根據(jù)做圓周運動時在最高點和最低點的運動規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．