Question

11．如圖所示內(nèi)壁光滑的環(huán)形槽半徑為R．固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的小球A、B以等大的速率v₀從圓心等高處向上、向下滑入環(huán)形槽，若在運(yùn)動過程中兩球均未脫離環(huán)形槽，設(shè)當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g．則下列敘述正確（　�。�

• A． v₀的最小值為 $\sqrt{2gR}$
• B． 兩球再次相遇時(shí)，速率仍然相等
• C． 小球A通過最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能小于小球B通過最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能
• D． 小球A通過最高點(diǎn)和小球B通過最低點(diǎn)時(shí)對環(huán)形槽的壓力差值為6mg

Answer 1

分析 兩個(gè)小球在光滑的圓軌道內(nèi)運(yùn)動，機(jī)械能守恒，據(jù)機(jī)械能守恒定律分析它們再次相遇時(shí)速率關(guān)系．A球要到最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的速度v必須滿足m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg．根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律求解軌道對兩球的支持力之差，得到壓力之差．

解答 解：A、設(shè)A球剛好到最高點(diǎn)時(shí)的速率為v，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，從出發(fā)到最高點(diǎn)的過程，有mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²，聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，即小球v₀的最小值為$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，故A錯(cuò)誤；
B、兩個(gè)小球在光滑的圓軌道內(nèi)運(yùn)動，只有重力做功，機(jī)械能守恒，開始出發(fā)時(shí)機(jī)械能相等，則再次相遇時(shí)機(jī)械能守恒也相等，速率必定相等，故B正確．
C、根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，小球A通過最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能等于小球B通過最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能，故C錯(cuò)誤．
D、小球A通過最高點(diǎn)時(shí)，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通過最低點(diǎn)時(shí)，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由機(jī)械能守恒得：對A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，對B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
聯(lián)立解得，N_B-N_A=6mg，則小球A通過最高點(diǎn)和小球B通過最低點(diǎn)時(shí)對環(huán)形槽的壓力差值為6mg，故D正確．
故選：BD．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要掌握機(jī)械能守恒和向心力知識，要準(zhǔn)確把握小球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件，熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和牛頓運(yùn)動定律處理這類問題．