Question

14．如圖所示，長(zhǎng)木板質(zhì)量為M=8kg，在長(zhǎng)木板右端施加F=38N水平向右的恒力，當(dāng)長(zhǎng)木板向右速度達(dá)到v₁=7m/s（圖中未畫出）時(shí)在其右端有一質(zhì)量為m=2kg小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=2m/s向左滑上木板的右端．小木塊與木板動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.3．設(shè)小木塊與長(zhǎng)木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，小木塊始終沒滑離長(zhǎng)木板，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）從小木塊向左滑上木板的右端開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止．
（2）為使小木塊不滑離木板，木板的長(zhǎng)度l至少要多長(zhǎng)？
（3）若小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，撤去拉力F，小木塊最終與木板右端的距離s．

Answer 1

分析 （1）小木塊滑上長(zhǎng)木板后先向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減至零后向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)過程中加速度不變，當(dāng)木塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，兩者保持相對(duì)靜止．根據(jù)牛頓第二定律求木塊的加速度，再由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式求出經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）小木塊放上木板后，在保持相對(duì)靜止時(shí)間內(nèi)的位移與木板的位移之差等于小木塊的相對(duì)位移，即為長(zhǎng)木板最小的長(zhǎng)度．
（3）先求得小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)的速度，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩者相對(duì)于地面滑行的距離，從而求得小木塊最終與木板右端的距離s．

解答 解：（1）小木塊的加速度大小為 a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.2×10=2m/s²，水平向右
長(zhǎng)木板的加速度為：a₂=$\frac{F-{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$
代入數(shù)據(jù)解得 a₂=0.5 m/s² 水平向右
令剛相對(duì)靜止時(shí)他們的共同速度為v，以木板運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方�?br />對(duì)小物塊有：v=-v₀+a₁t
對(duì)木板有：v=v₁+a₂t
解得：t=6s；v=10m/s
故經(jīng)過6s小木塊與長(zhǎng)木板保持相對(duì)靜止．
（2）此過程中小木塊的位移為：
  x₁=$\frac{-{v}_{0}+v}{2}$t=$\frac{-2+10}{2}$×6=24m
長(zhǎng)木板的位移為：x₂=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t=$\frac{7+10}{2}$×6=51m
所以長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度至少為：L=x₁-x₂=51-24=27m．
（3）小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，撤去拉力F，小木塊的加速度大小仍為 a₁=2m/s²，方向向左
共速至停止運(yùn)動(dòng)時(shí)木塊對(duì)地位移 x₃=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×2}$=25m
長(zhǎng)木板的加速度為：a₃=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g-{μ}_{1}mg}{M}$
代入數(shù)據(jù)解得 a₃=$\frac{13}{4}$m/s² 水平向左
共速至停止運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)木板對(duì)地位移 x₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×\frac{13}{4}}$m=$\frac{200}{13}$m≈15.38m
所以小木塊最終與木板右端的距離 s=L-（x₃-x₄）=17.38m
答：
（1）從小木塊向左滑上木板的右端開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過6s時(shí)間小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止．
（2）為使小木塊不滑離木板，木板的長(zhǎng)度l至少要27m．
（3）若小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，撤去拉力F，小木塊最終與木板右端的距離s是17.38m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小木塊滑上長(zhǎng)木板后先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．共速后兩者以不同的加速度勻減速運(yùn)動(dòng)，要知道長(zhǎng)木板的至少長(zhǎng)度等于木塊的位移和木板的位移之差．