Question

（2011?無錫一模）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地．如題圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為

3

4

d，重力加速度為g．忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷時(shí)球的速度大小 v₁和球落地時(shí)的速度大小 v₂．
（2）向繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求解繩斷時(shí)球的速度大小 v₁和球落地時(shí)的速度大小 v₂．
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大�。�根據(jù)向心力公式即可求解；
（3）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大推力不變，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)即可解題．

解答：解：（1）設(shè)繩段后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有
豎直方向

1

4

d=

1

2

gt2，水平方向d=v₁t
得v1=

2gd

由機(jī)械能守恒定律，有

1

2

mv22=

1

2

mv12+mg(d-

3

4

d)
得v2=

5 2 gd

（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小．
球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=

3

4

d
由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有 T-mg=

mv12

R

得    T=

11

3

mg
（3）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大拉力不變，
有  T-mg=

mv32

l

得v3=

8 3 gl

繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d-l，水平位移為x，時(shí)間為t₁
有d-l=

1

2

gt12x=v₃t₁
得    x=4

l(d-l) 3

當(dāng)l=

d

2

時(shí)，x有極大值，xmax=

2 3

3

d
答：（1）求繩斷時(shí)球的速度大小 v₁為

2gd

，球落地時(shí)的速度大小 v₂為

5 2 gd

；
（2）繩能承受的最大拉力為

11

3

mg；
（3）繩長應(yīng)是

d

2

，最大水平距離為

2 3

3

d．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律的應(yīng)用，并能結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解題．