本題中求容器內(nèi)落入n個液滴后偏離O點的最大位移時,若從動量守恒和能量守恒的角度求解,將涉及彈簧彈性勢能的定量計算,超出了中學(xué)大綱的要求,如果改用動量定理和動量守恒定律求解,則可轉(zhuǎn)換成大綱要求的知識的試題。
小題1:(1)彈簧振子在做簡諧運動過程中,影響其振動周期的因素有振子的質(zhì)量和恢復(fù)系數(shù)(對彈簧振子即為彈簧的勁度系數(shù)),本題中恢復(fù)系數(shù)始終不變,液滴的落入使振子的質(zhì)量改變,導(dǎo)致其做簡諧運動的周期發(fā)生變化。
容器中落入n個液滴后振子的質(zhì)量為(M+nm),以n個液滴落入后到第(n+1)個液滴落入前,這段時間內(nèi)系統(tǒng)做簡諧運動的周期T
n=2π
,容器落入n個液滴到(n+1)個液滴的時間間隔△t=T
n /2,所以
△t =π
小題2:(2)將容器從初始位置釋放后,振子運動的動量不斷變化,動量變化的原因是水平方向上彈簧彈力的沖量引起的,將容器從靜止釋放至位置O的過程中,容器的動量從零增至p,因容器位于O點時彈簧為自然長度,液滴在O點處落入容器時,容器和落入的液滴系統(tǒng)在水平方向的合力為零, 根據(jù)動量守恒定律,液滴在O處的落入并不改變系統(tǒng)水平方向的動量,所以振子處從位置O到兩側(cè)相應(yīng)的最大位移處,或從兩側(cè)相應(yīng)在的最大位移處到位置O的各1/4周期內(nèi),雖然周期T
n和對應(yīng)的最大位移L
n在不斷變化,但動量變化的大小均為△p=p-0=p,根據(jù)動量定理可知識,各1/4周期內(nèi)彈力的沖量大小均相等,即:
F
0(t)·T
0/4 = F
n(t)·T
n/4
其中T
0是從開始釋放到第一次到O點的周期,T
0=2π
。T
n是n個液滴落入后到(n+1)個液滴落入容器前振子的周期,T
n=2π
。而F
0(t) 和F
n(t)分別為第一個1/4周期內(nèi)和n個液滴落入后的1/4周期內(nèi)彈力對時間的平均值,由于在各個1/4周期內(nèi)振子均做簡諧運動,因而彈力隨時間均按正弦(或余弦)規(guī)律變化,隨時間按正弦(或余弦)變化的量在1/4周期內(nèi)對時間的平均值與最大值之間的關(guān)系,可用等效方法求出,矩形線圈在勻強(qiáng)磁場中勻速轉(zhuǎn)動時,從中性而開始計地,產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為ε=ε
msinωt= NbωSsinωt。ε按正弦規(guī)律變化,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律ε=N
,ε在1/4周期內(nèi)對時間的平均值ε=2ε
m/π。這一結(jié)論對其它正弦(或余弦)變化的量對時間的平均值同樣適用,則有
F
0(t)=2kL
0/π,F(xiàn)
n(t)=2kL
n/π
代入前式解得:L
n=
L
0