Question

如圖所示，傾角為θ寬度為d長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑傾斜導(dǎo)軌C₁D₁、C₂D₂頂端接有可變電阻R₀，L足夠長(zhǎng)，傾斜導(dǎo)軌置于垂直導(dǎo)軌平面斜向左上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，C₁A₁B₁、C₂A₂B₂為絕緣軌道，由半徑為R處于豎直平面內(nèi)的光滑半圓環(huán)A₁B₁、A₂B₂和粗糙的水平軌道C₁A₁、C₂A₂組成，粗糙的水平軌道長(zhǎng)為S，整個(gè)軌道對(duì)稱．在導(dǎo)軌頂端垂直于導(dǎo)軌放一根質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒MN，使其從靜止開始自由下滑，不考慮金屬棒MN經(jīng)過接點(diǎn)A₁A₂、C₁C₂處時(shí)機(jī)械能的損失，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中金屬棒始終保持水平，水平導(dǎo)軌與金屬棒MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?．則：
（1）金屬棒MN在傾斜導(dǎo)軌C₁D₁ C₂ D₂上運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻R₀上產(chǎn)生的熱量Q為多少？
（2）為了金屬棒MN能到達(dá)光滑半圓環(huán)B點(diǎn)，可變電阻R₀應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）金屬棒下滑時(shí)切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為0時(shí)，速度最大．下滑過程中，重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒求出整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量，從而求出電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（2）對(duì)金屬棒到達(dá)最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，確定能到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度，再由動(dòng)能定理從而來計(jì)算出可變電阻R₀應(yīng)滿足條件．

解答：解：（1）由于L足夠長(zhǎng)，棱MN在斜導(dǎo)軌上到達(dá)C端前已經(jīng)作勻速直線運(yùn)動(dòng)
則有：mgsinθ=

B2d2v

R0

解之得：v=

R0mgsinθ

B2d2

根據(jù)能量守恒：mgLsinθ=

1

2

mv2-Q
解之得：Q=mgLsinθ?

R 2 0 m3g2sin2θ

2B4d4

（2）棒能到達(dá)B點(diǎn)時(shí)：mg≤m

v 2 B

R

    
解得：vB≥

Rg

從C到B過程中，由動(dòng)能定理可得：2mgR+μmgS=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

解之得：R0≥

d2B2 5Rg+2gμS

mgsinθ

答：（1）金屬棒MN在傾斜導(dǎo)軌C₁D₁ C₂ D₂上運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻R₀上產(chǎn)生的熱量Q=mgLsinθ?

R 2 0 m3g2sin2θ

2B4d4

；
（2）為了金屬棒MN能到達(dá)光滑半圓環(huán)B點(diǎn)，可變電阻R₀應(yīng)滿足R0≥

d2B2 5Rg+2gμS

mgsinθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用到電磁感應(yīng)、右手定則、左手定則、牛頓定律、能量守恒定律等知識(shí)，要培養(yǎng)分析問題和解決綜合題的能力．關(guān)鍵掌握運(yùn)用動(dòng)力學(xué)分析金屬棒的運(yùn)動(dòng)，知道當(dāng)加速度為零時(shí)，速度最大．同時(shí)利用牛頓第二定律與向心力，并結(jié)合動(dòng)能定理來確定所求的結(jié)果．