Question

6．如圖所示，寬度為$\sqrt{3}$L的區(qū)域被平均分為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有勻強磁場，它們的磁感強度大小相等，方向垂直紙面且相反．長為$\sqrt{3}$L，寬為$\frac{L}{2}$的矩形abcd緊鄰磁場下方，與磁場邊界對齊，O為dc邊中點，P為dc邊中垂線上一點，OP=3L．矩形內(nèi)有勻強電場，電場強度大小為E，方向由a指向O．電荷量為q、質(zhì)量為m、重力不計的帶電粒子由a點靜止釋放，經(jīng)電場加速后進入磁場，運動軌跡剛好與區(qū)域Ⅲ的右邊界相切．
（1）求該粒子經(jīng)過O點時速度大小v₀；
（2）求勻強磁場的磁感強度大小B；
（3）若在aO之間距O點x處靜止釋放該粒子，粒子在磁場區(qū)域中共偏轉(zhuǎn)n次到達P點，求x滿足的條件及n的可能取值．

Answer 1

分析 （1）由動能定理就能求得粒子在電場中加速后的速度，只是要注意其中的幾何關(guān)系，即在電場方向上加速的距離．
（2）由題意加速后進入Ⅲ區(qū)磁場做勻速圓周運動后恰與右邊界相切，畫出軌跡，由幾何關(guān)系關(guān)系求出半徑，再由牛頓第二定律求出求出磁感應(yīng)強度大小．
（3）大致畫出粒子偏轉(zhuǎn)3次后經(jīng)過P點，勻減速直線運動和勻速圓周運動沿豎直方向上的距離之和等于3L．結(jié)合0＜R≤R₀，就能確定n的取值范圍．

解答 解：（1）由題意中長寬幾何關(guān)系可知aO=L，粒子在aO加速過程有
動能定理：$qEL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$                          ①
得粒子經(jīng)過O點時速度大小：v₀=$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$         ②
（2）粒子在磁場區(qū)域III中的運動軌跡如圖，設(shè)粒子軌跡圓半徑為R₀，
由幾何關(guān)系可得：${R}_{0}-{R}_{0}cos60°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$           ③
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得：$q{v}_{0}B=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{0}}$    ④
聯(lián)立②③④式，得：B=$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$               ⑤
（3）若粒子在磁場中一共經(jīng)過n次偏轉(zhuǎn)到達P，設(shè)粒子軌跡圓半徑為R，
由幾何關(guān)系有：$2n\{\frac{\sqrt{3}L}{6}tan30°+Rcos30°\}=3L$
依題意有0＜R≤R₀               ⑦
聯(lián)立③⑥⑦得$\frac{9}{7}≤n＜9$，且n取正整數(shù)            ⑧
設(shè)粒子在磁場中的運動速率為v，有：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$    ⑨
在電場中的加速過程，由動能定理：$qEx=\frac{1}{2}m{v}^{2}$    ⑩
聯(lián)立⑤⑥⑨⑩式，得：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$，其中n=2、3、4、5、6、7、8⑪
答：（1）該粒子經(jīng)過O點時速度大小為$\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$．
（2）求勻強磁場的磁感強度大小B為$\sqrt{\frac{3mE}{2qL}}$
（3）若在aO之間距O點x處靜止釋放該粒子，粒子在磁場區(qū)域中共偏轉(zhuǎn)n次到達P點，x滿足的條件
是：$x=（\frac{3}{2n}-\frac{1}{6}）^{2}L$  其中n=2、3、4、5、6、7、8．

點評 本題的靚點在于第三問，在ao上某點射出的粒子經(jīng)過勻速直線運動和勻速圓周運動多次循環(huán)最后到達P點，所以從最簡單的情況去考慮，既要沿豎直方向的距離之和為3L，同時還要考慮有可能穿出磁場的情況，兩者綜合考慮，確定偏轉(zhuǎn)次數(shù)，再決定離a點的距離．