Question

7．如圖為半徑為R=$\sqrt{3}$ m的固定半圓形玻璃磚的橫截面，O點(diǎn)為圓心，OO′為直徑MN的垂線．足夠大的光屏PQ緊靠在玻璃磚的右側(cè)且與MN垂直．某同學(xué)把一束包含有對(duì)該玻璃磚的折射率從n₁=$\sqrt{2}$到n₂=$\sqrt{3}$的復(fù)色光，沿半徑方向與OO′成θ=30°角射向O點(diǎn)，他發(fā)現(xiàn)光屏上出現(xiàn)了彩色光帶．
①求彩色光帶的寬度；
②當(dāng)復(fù)色光入射角逐漸增大時(shí)，光屏上的彩色光帶將變成一個(gè)光點(diǎn)，求θ角至少為多少？

Answer 1

分析 ①根據(jù)折射定律求出折射角，由幾何關(guān)系求解彩色光帶的寬度；
②當(dāng)所有光線均發(fā)生全反射時(shí)，光屏上的光帶消失，反射光束將在PN上形成一個(gè)光點(diǎn)．由于n₁＜n₂，玻璃對(duì)其折射率為n₂的色光先發(fā)生全反射，由臨界角公式求解為使光屏上的彩帶消失時(shí)θ角的最小值．

解答 解：①設(shè)折射率為n₁和n₂的光線經(jīng)玻璃磚后折射角分別為β₁和β₂．由折射定律得：
n₁=$\frac{sin{β}_{1}}{sinθ}$，
n₂=$\frac{sin{β}_{2}}{sinθ}$，
代入數(shù)據(jù)解得：β₁=45°，β₂=60°，
故彩色光帶的寬度為：d=Rtan（90°-β₁）-tan（90°-β₂）=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）R=0.73m
②當(dāng)所有光線均發(fā)生全反射時(shí)，光屏上的光帶消失，反射光束將在PN上形成一個(gè)光點(diǎn)．即此時(shí)折射率為n₁的單色光在玻璃表面上恰好發(fā)生全反射，故有：
sinC=$\frac{1}{{n}_{1}}$=$\sqrt{2}$
即入射角為：θ=C=45°
答：①彩色光帶的寬度為0.73m；
②當(dāng)復(fù)色光入射角逐漸增大時(shí)，光屏上的彩色光帶將變成一個(gè)光點(diǎn)，θ角至少為45°．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于涉及全反射的問題，要緊扣全反射產(chǎn)生的條件：一是光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)；二是入射角大于臨界角．結(jié)合幾何知識(shí)研究這類問題．