Question

8．質(zhì)量M=10kg的木板A沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于μ₁=0.1，當(dāng)木板A的速度v₀=5m/s時(shí)，在A的左端施加一個(gè)恒力F=35N，如圖所示，同時(shí)在木板上面無初速度放上一個(gè)質(zhì)量m=5kg的滑塊B．已知滑塊B右端的木板上表面粗糙，長度為12.5m，與滑塊之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，滑塊左端的木板上表面包括滑塊所放的位置為光滑，長度為2.5m．

（1）至少經(jīng)過多長時(shí)間滑塊和木板的速度相等．
（2）共經(jīng)過多長時(shí)間滑塊與木板分開？

Answer 1

分析 （1）對長木板受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，然后計(jì)算出長木板向右減速為0時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離，再與L相比較，判斷滑塊能否從長木板的左端滑下；再計(jì)算后來長木板向左運(yùn)動(dòng)到二者速度相等的時(shí)間，求和即可．
（2）滑塊從放到長木板上開始至離開長木板所用的時(shí)間就是這兩個(gè)時(shí)間之和；

解答 解：（1）滑塊剛剛放到長木板時(shí)，木板相對于滑塊向右運(yùn)動(dòng)，受到的合力為0，故相對地面靜止，對長木板受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得
長木板的加速度${a}_{1}=\frac{F+{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35+0.1×（10+5）×10}{10}=5$m/s²
長木板向右減速為0運(yùn)動(dòng)的距離${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{5}^{2}}{2×5}=2.5m$
該位移恰好等于木板左側(cè)的長度，所以滑塊沒有掉落；
長木板向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=1s$
長木板向左運(yùn)動(dòng)的加速度${a}_{2}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10}{10}=2m/{s}^{2}$
長木板向左的位移等于2.5m的時(shí)間：$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=2.5$
代入數(shù)據(jù)得：${t}_{2}=\sqrt{2.5}$s≈1.58s
此時(shí)木塊的速度：${v}_{1}={a}_{2}{t}_{2}=2\sqrt{2.5}$m/s≈1.58m/s
之后滑塊相對于長木板向右運(yùn)動(dòng)，二者之間的摩擦力：f=μ₂mg=0.2×5×10=10N
滑塊向左的加速度：${a}_{3}=\frac{f}{m}=\frac{10}{5}=2m/{s}^{2}$
木板的加速度：${a}_{4}=\frac{F-{μ}_{1}（M+m）g-f}{M}=\frac{35-0.1×（10+5）×10-10}{10}=1m/{s}^{2}$
再經(jīng)過時(shí)間t₃速度相等，得：v₁+a₄t₃=a₃t₃
聯(lián)立得：t₃=1.58s
所以滑塊和木板的速度相等的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=1+1.58+1.58=4.16s
（2）滑塊加速t₃時(shí)間內(nèi)滑塊與木板之間的相對位移：△x=${v}_{1}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{3}$
代入數(shù)據(jù)得：△x=1.2482m＜12.5m
結(jié)合（1）的分析可知，二者的速度相同后，滑塊的加速度不可能再大于木板的加速度，則二者一起做加速運(yùn)動(dòng)，不可能再分離．
答：（1）經(jīng)過4.16s時(shí)間滑塊和木板的速度相等．
（2）滑塊不可能與木板分開．

點(diǎn)評(píng) 可以用極端假設(shè)法判斷小鐵塊能否從長木板的左端滑下，第（2）問注意對長木板的運(yùn)動(dòng)情況分段討論，計(jì)算出小鐵塊從放到長木板上開始至離幵長木板所用的時(shí)間．