Question

（2001?上海）組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率．如果超過(guò)了該速率，星球的萬(wàn)有引力將不足以維持其赤道附近的物體做圓周運(yùn)動(dòng)．由此能得到半徑為R、密度為ρ、質(zhì)量為M且均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T．則最小自轉(zhuǎn)周期T的下列表達(dá)式中正確的是（　　）

• A．T=2π

  R3 GM

• B．T=2

  3R 3 GM

• C．T=

  π GP

• D．T=

  3π Gρ

Answer 1

分析：由題意可知當(dāng)周期達(dá)到某一最小值時(shí)，物體對(duì)星球表面應(yīng)剛好沒(méi)有壓力，即萬(wàn)有引力恰好充當(dāng)星球表面的物體在星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；故由萬(wàn)有引力公式可求得最小周期．

解答：解：由F=m

4π2R

T2

可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對(duì)星球表面的壓力最小，
當(dāng)周期小到一定值時(shí)，壓力為零，此時(shí)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，即

GMm

R2

=m

4π2R

T2

解得T=2π

R3 GM

；故A正確；
因M=ρ

4

3

πR³，代入上式可得：T=

3π Gρ

，故D也正確；
故選AD．

點(diǎn)評(píng)：星球表面的物體受到星球萬(wàn)有引力的作用充當(dāng)物體的向心力及支持力，星球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度越大、周期越小時(shí)，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當(dāng)向心力大到一定值時(shí)，物體會(huì)離開(kāi)星球表面；