Question

7．如圖所示，質(zhì)量M=1kg的木板靜置于傾角為θ=37°的足夠長的固定斜面上某位置，質(zhì)量m=1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊以初速度v₀=5m/s從木板的下端沖上木板，同時(shí)在木板上端施加一個(gè)沿斜面向上的外力F=14N，使木板從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物塊與木板共速時(shí)，撤去該外力，最終小物塊從木板的下端滑出．已知小物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ₁=0.25，木板與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）物塊和木板共速前，物塊和木板的加速度各為多少？
（2）木板的長度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）小物塊沖上木塊后，分別對(duì)木塊和木板進(jìn)行受力分析，沿斜面方向上利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式，即可求得木塊m和木板M的加速度．
（2）小物塊剛沖上木板后，木塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，先求得速度相同時(shí)所需要的時(shí)間，分別求出兩者的位移，位移之差的大小即為木板的長度．

解答 解：（1）小物塊沖上木板后，小物塊與木板之間的滑動(dòng)摩擦力為：f=μ₁mgcosθ=0.25×1×10×0.8=2N，
對(duì)小物塊m有：ma₁=f+mgsinθ
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
對(duì)木板：Ma₂=F-Mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ+f
代入數(shù)據(jù)得：a₂=2m/s²，方向沿斜面向上
（2）當(dāng)速度相等時(shí)，v₀-a₁t₁=v₁
0+a₂t₁=v₁
解得：t₁=0.5s
v₁=1m/s
所以，x_m1=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$，${x}_{M1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$，
速度相等前的相對(duì)位移為：△s=x_m1-x_M1=$\frac{{v}_{0}t}{2}$=1.25m
撤去拉力F后，物塊相對(duì)于仍然木板向上運(yùn)動(dòng)，所以加速度仍然是a₁=8m/s²，方向沿斜面向下
而木板：Mgsinθ+μ₂（M+m）gcosθ-f=Ma₃
代入數(shù)據(jù)得：a₃=12m/s²
方向沿斜面向下，做減速運(yùn)動(dòng)
當(dāng)木板速度等于0后，由于Mgsinθ+μ₁mgcosθ＜μ₂（M+m）gcosθ，所以小物塊在木板上向上滑動(dòng)時(shí)，木板靜止不動(dòng)．
木板停止需要的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{3}}=\frac{1}{12}s$，
小物塊的速度減小到0的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{8}s$，
此過程中小物塊的位移：${x}_{m2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{1}^{2}}{2×8}$=$\frac{1}{16}m$，
木板的位移：${x}_{M2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{{1}^{2}}{2×12}=\frac{1}{24}m$，
相對(duì)位移：△s′=x_m2-x_M2=$\frac{1}{16}-\frac{1}{24}m$=$\frac{1}{48}m$，
所以木板的長度最小為：$L=△s+△s′=1.25+\frac{1}{48}m$=$\frac{61}{48}$m．
答：（1）物塊和木板共速前，物塊和木板的加速度分別是8m/s²，方向沿斜面向下和2m/s²，方向沿斜面向上；
（2）木板的長度至少為$\frac{61}{48}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清物塊和木板在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．