Question

3．蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動．如圖是蕩秋千的示意圖，若人直立站在踏板上，從繩與豎直方向成90°角的A點由靜止開始運動，擺到最低點B時，兩根繩中的總拉力是人所受重力的2倍．隨后，站在B點正下面的某人推一下，使秋千恰好能擺到繩與豎直方向成90°角的C點．設人的重心到繩的懸點O的距離為L，人的質量為m，踏板和繩的質量不計，人所受的空氣阻力與人的速率成正比．則下列判斷正確的是（　　）

• A． 人從A點運到到B點的過程中損失的機械能大小等于$\frac{1}{2}$mgL
• B． 站在B點正下面的某人推一下做的功大于mgL
• C． 在從A點到B點和從B點到C點兩個階段中，合外力對人做的功相等
• D． 若在A點補充能量，要使秋千能擺到繩與豎直方向成90°角的C點，在A點補充的能量大于在B點補充的能量

Answer 1

分析 在最低點B時，對人和踏板整體，運用牛頓第二定律求出人的速度，再由能量守恒定律求出人從A點運動到最低點B的過程中損失的機械能．分析能量如何轉化的，再由能量守恒定律求人推一下做的功．在從A點到B點和從B點到C點兩個階段中，運用動能定理分析合外力對人做功關系．

解答 解：A、在最低點B時，對人和踏板整體，由牛頓第二定律得：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，據題意 T=2mg，得 v=$\sqrt{gL}$
則人從A點運動到最低點B的過程中損失的機械能為：△E=mgL-$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mgL．故A正確．
B、由于站在B點正下面的某人要對該人要做功，在最低點，該人的速度v′＞$\sqrt{gL}$，由于空氣阻力與人的速度成正比，則從B運動到C，人損失的機械能△E′＞$\frac{1}{2}$mgL；
要使人從B運動到C，根據動能定理：W_人-mgL-△E′=0-$\frac{1}{2}$mv²，解得站在B點正下面的某人推一下做的功 W_人＞mgL，故B正確．
C、由動能定理得：
在從A點到B點的過程中，合外力做功 W₁=$\frac{1}{2}$mv²-0=$\frac{1}{2}$mv²．從B點到C點的過程中，合外力做功 W₂=0-$\frac{1}{2}$mv′²=-$\frac{1}{2}$mv′²．由于v′＞v，所以兩個階段中，合外力對人做的功不等，故C錯誤．
D、若在A點補充能量，要使秋千能擺到繩與豎直方向成90°角的C點，人和秋千板在B點的速度要相同，則B到C的過程，機械能損失相同．而在A到B的過程，機械能損失增大，所以在最高點A補充的能量大于最低點B補充的能量．故D正確
故選：ABD

點評 本題是實際問題，要建立模型，將實際問題進行簡化，正確分析能量是如何轉化的是解決本題的關鍵，要注意空氣阻力與人的速率成正比這個條件．