Question

12．研究小組利用圖示裝置探究小物塊在斜面上的運(yùn)動(dòng)．木板OA長(zhǎng)度L=3.75m，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，它與水平面的夾角記為θ；小物塊的質(zhì)量m=0.1kg，與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，開始時(shí)小物塊靜置于O端．大小為1N、方向始終平行于木板的力F作用于小物塊上（取g=10m/s²，sin37°=0.6）．求
（1）θ取何值時(shí)，小物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？
（2）當(dāng)θ=37°時(shí)，為保證小物塊不沖出木板頂端，力F的作用時(shí)間不得超過多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的時(shí)間，利用好三角函數(shù)關(guān)系求極值即可
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出有F和撤去F時(shí)的加速度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式求出這兩個(gè)過程的位移，根據(jù)兩段位移之和為L(zhǎng)求解

解答 解：（1）當(dāng)θ=90⁰時(shí)，F(xiàn)-mg=0，物塊動(dòng)不起來，t→∞符合題意，物塊在傾角為θ的斜面上運(yùn)動(dòng)，據(jù)牛二律有：
F-mgsinθ-μmgcosθ=ma′
根據(jù)$t=\sqrt{\frac{2L}{a′}}$，要使t最大，須使a’最小，也即（mgsinθ+μmgcosθ）最大
令sinθ+μ cosθ=y，
化簡(jiǎn)得：$y=\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ）$，其中$cosφ=\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$
臨界條件為：$sin（θ+φ）=\frac{4}{\sqrt{17}}$時(shí)a=0，t→∞
則：$θ=arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$
故滿足條件的θ角范圍是[$arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$，$\frac{π}{2}$]
（2）當(dāng)θ=37⁰有F作用時(shí)：F-mgsin37°-μmgcos37°=ma₁
解得：a₁=2 m/s²  
撤去F后：mgsin37°+μmgcos37°=ma₂
解得：a₂=8 m/s²       
設(shè)加速時(shí)間為t₁，減速時(shí)間為t₂，有a₁t₁=v_m=a₂t₂  又L=$\frac{1}{2}$（t₂+t₁） v_m
聯(lián)立解得：${t}_{1}=\sqrt{3}$s      
答：（1）θ取[$arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，小物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？
（2）當(dāng)θ=37°時(shí)，為保證小物塊不沖出木板頂端，力F的作用時(shí)間不得超過$\sqrt{3}$s

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，抓住三角函數(shù)的極值求法