Question

如圖所示，質(zhì)量分別為m、2m的小球A、B，中間用輕彈簧相連，連接球A的輕繩懸于足夠高的天花板上，現(xiàn)讓球B自彈簧自然長度處由靜止釋放后，在豎直方向做振幅為x₀的簡諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)剪斷輕繩，經(jīng)過時(shí)間t，A、B兩球的加速度第一次相同，球A的速度為υ_A，重力加速度為g，求：
（1）此時(shí)B球的速度；
（2）球A下落的距離．

Answer 1

分析：（1）從剪斷細(xì)線到兩物體加速度相同過程，對(duì)A、B兩球所組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量定理列式求解；
（2）剪斷細(xì)線前，釋放小球B后，小球B下降過程先加速下降后減速下降，機(jī)械能守恒；
剪斷細(xì)線后兩球和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)剪斷輕繩，此時(shí)B球速度為零，經(jīng)過時(shí)間t，A、B兩球的加速度相同，說明彈簧處于自由長度，兩球均由各自的重力提供的重力加速度g．
在此過程中，A、B兩球所組成的系統(tǒng)由動(dòng)量定理可知：
3mgt=mυ_A+2mυ_B
解得：υB=

1

2

(3gt-υA)
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，B球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢能等于其重力勢能的減小量，為：
E_p=2mg?2x₀=4mgx₀
在時(shí)間t內(nèi)A、B兩球的機(jī)械能守恒有：
4mgx0+mghA+2mg(hA-2x0)=

1

2

m

υ

2 A

+

1

2

?2m

υ

2 B

解得：hA=

υ 2 A +3g2t2-2gυAt

4g

答：（1）此時(shí)B球的速度為

1

2

(3gt-υA)；
（2）球A下落的距離

υ 2 A +3g2t2-2gυAt

4g

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確剪斷細(xì)線前后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，難點(diǎn)在于對(duì)兩個(gè)球系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量定理列式分析．