Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛的機(jī)械裝置，其結(jié)構(gòu)簡圖如下：傳送帶部分水平，其長度，傳送帶以4m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，大皮帶輪半徑，其下端點(diǎn)與圓弧軌道的點(diǎn)在同一水平線上，點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧對應(yīng)的圓心角且圓弧軌道的半徑，點(diǎn)和傾斜傳送帶的下端點(diǎn)平滑連接，傾斜傳送帶長為，其傾角。某同學(xué)將一質(zhì)量為0．5kg且可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊靜止放在水平傳送帶左端處，物塊經(jīng)過點(diǎn)后恰能無碰撞地從點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道部分，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力，然后物塊滑上傾斜傳送帶。物塊與圓弧的動(dòng)摩擦因數(shù)未知，與其它接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度，，，，，求：

（1）物塊由到所經(jīng)歷的時(shí)間；

（2）弧對應(yīng)的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到端，傾斜傳送帶順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及物塊從端到端所用時(shí)間的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）0.9s（2）45°（3）傳送帶的速度應(yīng)滿足：，物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是：

【解析】

（1）放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：

所以：

物體加速到4m/s的時(shí)間：

在加速階段的位移：

物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

物塊由到所經(jīng)歷的時(shí)間：

；

（2）若物體能在點(diǎn)恰好離開傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，則滿足：

所以：

所以物體能夠在點(diǎn)離開傳送帶做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

到達(dá)點(diǎn)時(shí)物體沿豎直方向的分速度：

到達(dá)點(diǎn)時(shí)物體的速度與水平方向的夾角：

所以：

如圖

即弧對應(yīng)的圓心角為45°；

（3）當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，圓弧給物塊的摩擦力，所以物體在點(diǎn)受到的支持力：

物體在點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的分力提供向心力得：

代入數(shù)據(jù)得：

物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力的作用，滑動(dòng)摩擦力：

重力沿斜面向下的分力：

可知物體不可能相對于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運(yùn)動(dòng)，物體恰好到達(dá)點(diǎn)時(shí)的速度為0。

Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在點(diǎn)的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運(yùn)動(dòng)；此時(shí)：

，

物體的位移為：

即：

，

代入數(shù)據(jù)解得：

，（或，該時(shí)間不合題意，要舍去）

Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在點(diǎn)的速度，則物體先相對于傳送帶向上運(yùn)動(dòng)，受到的摩擦力的方向向下；當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小發(fā)生變化。

設(shè)物體恰好能到達(dá)點(diǎn)時(shí)，傳送帶的速度是，且，物體到達(dá)點(diǎn)的速度為0。

物體的速度大于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向下，此時(shí)：

，

則：

物體的速度小于傳送帶的速度時(shí)，物體受到的摩擦力的方向向上，則：

物體位移為：

可得：

物體從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的總時(shí)間：

綜合以上的分析可知，若要物體能夠到達(dá)點(diǎn)，傳送帶的速度應(yīng)滿足：，物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是：