Question

11．某小組同學(xué)在研究圖1所示的電磁槍原理時(shí)，繪制了圖2所示的簡(jiǎn)圖（為俯視圖），圖中兩平行金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，固定在水平面上，整個(gè)裝置處在豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，平行導(dǎo)軌左端電路如圖所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為E，電容器的電容為C．一質(zhì)量為m、長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)體棒垂直于軌道平放在導(dǎo)軌上，忽略摩擦阻力和導(dǎo)軌的電阻，假設(shè)平行金屬導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)．

（1）將開關(guān)S接a，電源對(duì)電容器充電．
a．求電容器充電結(jié)束時(shí)所帶的電荷量Q；
b．請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出充電過程中電容器兩極板間的電壓u隨電容器所帶電荷量q變化的圖象；借助u-q圖象求出穩(wěn)定后電容器儲(chǔ)存的能量E₀．
（2）電容器充電結(jié)束后，將開關(guān)接b，電容器放電，導(dǎo)體棒由靜止開始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)放電電流引起的磁場(chǎng)影響．
a．已知自由電子的電荷量為e，請(qǐng)你分析推導(dǎo)當(dāng)導(dǎo)體棒獲得最大速度之后，導(dǎo)體棒中某一自由電子所受的電場(chǎng)力與導(dǎo)體棒最大速度之間的關(guān)系式；
b．導(dǎo)體棒由靜止到獲得最大速度的過程中，由于存在能量損失△E_損，電容器釋放的能量沒有全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能，求△E_損．

Answer 1

分析 （1）a、根據(jù)Q=CU即可求出求電容器充電結(jié)束時(shí)所帶的電荷量Q；
b．結(jié)合電容的定義式即可畫出電壓u隨電容器所帶電荷量q變化的圖象；根據(jù)電勢(shì)能的定義，然后借助u-q圖象求出穩(wěn)定后電容器儲(chǔ)存的能量E₀．
（2）a、導(dǎo)體棒的速度最大時(shí)，電容器兩端的電壓與導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相同，然后結(jié)合電場(chǎng)力的關(guān)系即可求出；
b、根據(jù)Q=CU求出電容器的放電電量，然后結(jié)合動(dòng)量定理即可求出．

解答 解：（1）a、電容器充電完畢后，電容器兩端的電壓等于電源的電動(dòng)勢(shì)，所以電容器的帶電量：
Q=CE
b、根據(jù)電容器的定義式：C=$\frac{Q}{U}$  ①
所以：u=$\frac{1}{C}•q$，電壓與電量成正比，所以畫出u-q的圖線如圖：

充電的過程中克服電場(chǎng)力做的功：W=qU
所以圖線與橫坐標(biāo)圍成的面積即為電容器儲(chǔ)存的能量．有：
${E}_{0}=\frac{1}{2}EQ$   ②
聯(lián)立①②得：${E}_{0}=\frac{1}{2}C{E}^{2}$   ③
（2）導(dǎo)體棒的速度最大時(shí)，電容器兩端的電壓與導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相同，則：
U=E_棒=BLv_m   ④
導(dǎo)體棒中恒定電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)：${E}_{電}=\frac{U}{L}=B{v}_{m}$
所以導(dǎo)體棒中的電子受到的電場(chǎng)力：F=e•E_電=eBv_m
b、由（1）可得，導(dǎo)體棒的速度最大時(shí)，電容器上儲(chǔ)存的電能：${E}_{1}=\frac{1}{2}C{U}^{2}$  ⑤
導(dǎo)體棒由靜止到獲得最大速度的過程中，根據(jù)能量守恒定律得：${E}_{0}={E}_{1}+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+△{E}_{損}$  ⑥
該過程中電容器放出的電荷量：△Q=CE-CU⑦
設(shè)該過程中的平均電流$\overline{I}$，時(shí)間為t，根據(jù)動(dòng)量定理得：$BL\overline{I}t=m{v}_{m}-0$⑧
其中：$Q=\overline{I}t$  ⑨
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨得：$△{E}_{損}=\frac{mC{E}^{2}}{2（m+C{L}^{2}{B}^{2}）}$
答：（1）a．電容器充電結(jié)束時(shí)所帶的電荷量是CE；
b．畫出充電過程中電容器兩極板間的電壓u隨電容器所帶電荷量q變化的圖象如圖；穩(wěn)定后電容器儲(chǔ)存的能量是$\frac{1}{2}C{E}^{2}$．
（2）a．已知自由電子的電荷量為e，當(dāng)導(dǎo)體棒獲得最大速度之后，導(dǎo)體棒中某一自由電子所受的電場(chǎng)力與導(dǎo)體棒最大速度之間的關(guān)系式為F=eBv_m；
b．導(dǎo)體棒由靜止到獲得最大速度的過程中，由于存在能量損失△E_損，電容器釋放的能量沒有全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能，能量損失△E_損為$\frac{mC{E}^{2}}{2（m+C{L}^{2}{B}^{2}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，解答的關(guān)鍵是由電路的串聯(lián)關(guān)系先求出電容器兩端的電壓，再求出電子所受的電場(chǎng)力與導(dǎo)體棒最大速度之間的關(guān)系．