Question

13．如圖所示，水平轉臺上有一個質量為m的小物塊，用長為l的細繩將物塊連接在與轉臺固定在一起的轉軸上，細繩與豎直轉軸的夾角為θ，此時繩伸直但拉力為零．已知物塊與轉臺間動摩擦因數為μ（μ＜tanθ），設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現(xiàn)讓物塊隨轉臺一起由靜止開始加速轉動．求：
（1）繩中剛產生拉力時轉臺的角速度；
（2）轉臺由靜止加速至小物塊支持力為零的過程中，轉臺對小物塊做的功；
（3）小物塊由靜止加速到角速度為＜“m“：math xmlns：dsi='http://www．dessci．com/uri/2003/MathML'dsi：zoomscale='150'dsi：_mathzoomed='1'style='CURSOR：pointer； DISPLAY：inline-block'＞ω=3g2lcosθ$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$的過程中，小物塊機械能的增量．

Answer 1

分析 （1）繩中剛產生拉力時，由最大靜摩擦力提供向心力，根據牛頓第二定律求角速度．
（2）根據牛頓第二定律和向心力公式求出支持力為零時的速度，再由動能定理求轉臺對小物塊做的功；
（3）根據合力提供提供向心力，求出細繩與豎直方向夾角的余弦，再由能量關系求小物塊機械能的增量．

解答 解：（1）繩中剛產生拉力時，由最大靜摩擦力提供向心力，根據牛頓第二定律得：
  f₀=mω²r
又 f₀=μmg，r=lsinθ
解得ω=$\sqrt{\frac{μg}{lsinθ}}$
（2）當小物塊所受的支持力為零時，有 mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$
根據動能定理知：轉臺對小物塊做的功 W=E_k=$\frac{1}{2}$mv²
解得 W=$\frac{mglsi{n}^{2}θ}{2cosθ}$
（3）當$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$時，設細繩與轉軸的夾角為α，則 mgtanα=mω²lsinα
得 cosα=$\frac{2}{3}$cosθ
則小物塊重力勢能的增加量△E_p=mg（lcosθ-lcosα）
動能的增量量△E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m（ωlsinα）^{2}$
物塊機械能的增量為△E_p+△E_k=$\frac{3mgl}{4cosθ}$
答：
（1）繩中剛產生拉力時轉臺的角速度是$\sqrt{\frac{μg}{lsinθ}}$；
（2）轉臺由靜止加速至小物塊支持力為零的過程中，轉臺對小物塊做的功是$\frac{mglsi{n}^{2}θ}{2cosθ}$；
（3）小物塊由靜止加速到角速度為$ω=\sqrt{\frac{3g}{2lcosθ}}$的過程中，小物塊機械能的增量是$\frac{3mgl}{4cosθ}$．

點評 本題考查牛頓運動定律和功能關系在圓周運動中的應用，注意臨界條件的分析，至繩中出現(xiàn)拉力時，摩擦力為最大靜摩擦力；轉臺對物塊支持力為零時，N=0，f=0．