Question

19．“神舟八號”與“天宮一號”對接前各自繞地球運動，設“天宮一號”在半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，“神舟八號”在半徑為r₂的圓軌道上運動，r₁＞r₂，則（　�。�

• A． “神舟八號”的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• B． “天宮一號”的運行速度大于7.9km/s
• C． 地球表面的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• D． 地球的質量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，萬有引力提供圓周運動向心力，據此得到周期、線速度的表達式，由半徑大小比較周期大小和線速度大小，從第一宇宙速度的物理意義比較衛(wèi)星的運行速度大�。�

解答 解：ABC、對于任意人造地球衛(wèi)星，根據萬有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得衛(wèi)星的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，線速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
所以“神舟八號”與“天宮一號”周期之比為：$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，可知，“神舟八號”的周期為：T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
由 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$知，“天宮一號”的運行速度小于近地衛(wèi)星的速度，即小于第一宇宙速度7.9km/s，故A正確，B錯誤；
C、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得衛(wèi)星的加速度為：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，則“天宮一號”的加速度為：a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$
由a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，知衛(wèi)星的軌道半徑越大，加速度越小，所以“天宮一號”小于地球表面的重力加速度g，即有 g＞a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$．故C錯誤．
D、根據G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以研究“天宮一號”可得，地球的質量為：M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．故D正確．
故選：AD

點評 能根據衛(wèi)星軌道半徑大小分析描述圓周運動的物理量之間的大小關系是正確解題的關鍵，知道第一宇宙速度的物理意義及衛(wèi)星變軌原理是正確解題的關鍵．