Question

11．在學校組織的趣味運動會上，某科技小組為大家提供了一個寓學于樂的游戲．如圖所示，將一質量為0.1kg的小滑塊（可視為質點）放在O點，用彈簧裝置將其彈出，使其沿著光滑的半圓形軌道OA和AB運動，BC段為一段長為L=2.0m的粗糖水平面，DEFG為矩形盤子（盒子邊緣的高度忽略不計）．圓弧OA和AB的半徑分別為r=0.2m，R=0.4m，滑塊與BC段的動摩擦因數(shù)為μ=0.4，C點離盒子的高度為h=0.8m，水平距離為x=0.6m，盒子的長度EF為1m，求：

（1）要使小滑塊恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小滑塊受到半圓軌道的支持力；
（2）在滿足第（1）問的情況下，小滑塊能否落入盒子？若能，則落入盒子時距左邊緣DE的距離；
（3）為了不讓小滑塊飛出盒子，滑塊被彈射離開彈簧時的最大初速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，抓住小滑塊恰好不脫離圓弧軌道求出A點的速度，結合機械能守恒求出B點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（2）根據(jù)動能定理求出C點的速度，結合平拋運動的規(guī)律求出水平位移，判斷小滑塊能否落入盒子，若能，結合水平位移關系求出落入盒子時距左邊緣DE的距離．
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出C點的最大速度，結合動能定理求出滑塊被彈射離開彈簧時的最大初速度．

解答 解：（1）滑塊恰好到達A點，可知軌道對滑塊的壓力為零，滑塊僅受重力，對滑塊有：$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
A到B的過程機械能守恒：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
對B點：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
由以上三式代入數(shù)據(jù)可得：F_N=6N．
（2）從B至C由動能定理：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)得v_C=2m/s．
由平拋運動：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v_Ct，
聯(lián)立以上各式解得：s=0.8m＞0.6m．
所以小滑塊能落入盒子中．
落入的位置距離E點：△x=s-x=0.8-0.6m=0.2m．
（3）由平拋運動：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x+x_EF=v_C′t，
代入數(shù)據(jù)解得v_C′=4m/s．
由O至C用動能定理：$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{c}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{0}=2\sqrt{6}$m/s．
答：（1）要使小滑塊恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小滑塊受到半圓軌道的支持力為6N；
（2）在滿足第（1）問的情況下，小滑塊能落入盒子中，落入盒子時距左邊緣DE的距離為0.2m．
（3）為了不讓小滑塊飛出盒子，滑塊被彈射離開彈簧時的最大初速度為$2\sqrt{6}$m/s．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和平拋運動、圓周運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．