Question

（16分）如圖甲所示，兩水平放置的平行金屬板A、B的板長(zhǎng)，板間距離d=0.10m，在金屬板右側(cè)有一范圍足夠大，方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2T，其左邊界為y軸．在t=0時(shí)刻，兩金屬板間加如圖乙所示的正弦交變電壓．現(xiàn)從t=0開(kāi)始，位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右以1000個(gè)/秒的數(shù)量連續(xù)均勻發(fā)射帶正電的粒子，粒子均以的初速度沿x軸進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后部分粒子射入磁場(chǎng)．已知帶電粒子的比荷，粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，極板間的電壓可以看作不變，不計(jì)粒子重力，不考慮極板邊緣及粒子間相互影響．試求：

（1）t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界y軸射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
（2）每秒鐘有多少個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）何時(shí)刻由粒子源進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，求最長(zhǎng)時(shí)間t_m（π≈3）．

Answer 1

（1）1.38m（2）每秒鐘有500個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)（3）t_m="3.2" ×10^-5s

試題分析：（1）t＝0時(shí)，U_AB=0，帶電粒子在極板間不偏轉(zhuǎn)，水平射入磁場(chǎng)，
由：  (1分) 得：    (1分)
射入和射出磁場(chǎng)時(shí)，兩點(diǎn)間的距離為 (1分)
（2）假設(shè)兩極板電壓為u時(shí)，由O點(diǎn)射入的粒子剛好從板的邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)，則有
 (1分) ； (1分)；  (1分)；  (1分)；
解得：  (1分)
由乙圖可知，在每個(gè)周期內(nèi)，只有，，時(shí)間段內(nèi)由O射入的粒子才能通過(guò)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，即只有半個(gè)周期內(nèi)有粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)，所以每秒鐘有500個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)．（2分）
（3）只有當(dāng)A板電勢(shì)高于B板電勢(shì)，且沿B板右側(cè)邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子，由于在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，使得其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角最大，故在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示．即：,（……）(1分)

或：,（……）(1分)
這些時(shí)刻入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．
由帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可得： ，θ=30°（1分）
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，所求的最長(zhǎng) 時(shí)間為t_m，則有：（1分）
由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為，
則： （1分） 解得：t_m="3.2" ×10^-5s（1分
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，如果粒子以垂直磁場(chǎng)邊界射入，必垂直磁場(chǎng)邊界射出，處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，首先要先畫(huà)出大概的運(yùn)動(dòng)軌跡，先找圓心后求半徑，處理邊界磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)巧妙應(yīng)用對(duì)稱性是解題的技巧