Question

【題目】如圖所示，水平軌道與半徑為r的半圓弧形軌道平滑連接于S點(diǎn)，兩者均光滑且絕緣，并安裝在固定的豎直絕緣平板上．在平板的上下各有一塊相互正對(duì)的水平金屬板P、Q，兩板間的距離為d．半圓軌道的最高點(diǎn)T、最低點(diǎn)S、及P、Q板右側(cè)邊緣點(diǎn)在同一豎直線上．裝置左側(cè)有一半徑為L的水平金屬圓環(huán)，圓環(huán)平面區(qū)域內(nèi)有豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一根長(zhǎng)度略大于L的金屬棒一端置于圓環(huán)上，另一端與過(guò)圓心O1的豎直轉(zhuǎn)軸連接，轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓環(huán)邊緣和轉(zhuǎn)軸處引出導(dǎo)線分別與P、Q連接，圖中電阻阻值為R，不計(jì)其它電阻．右側(cè)水平軌道上有一帶電量為+q、質(zhì)量為的小球1以速度向左運(yùn)動(dòng)，與前面靜止的、質(zhì)量也為的不帶電小球2發(fā)生碰撞，碰后粘合在一起共同向左運(yùn)動(dòng)，小球和粘合體均可看作質(zhì)點(diǎn)，碰撞過(guò)程沒(méi)有電荷損失，設(shè)P、Q板正對(duì)區(qū)域間才存在電場(chǎng)．重力加速度為g．

(1)計(jì)算小球1與小球2碰后粘合體的速度大小v；

(2)若金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，計(jì)算圖中電阻R消耗的電功率P；

(3)要使兩球碰后的粘合體能從半圓軌道的最低點(diǎn)S做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)T，計(jì)算金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ≤ω≤

【解析】

(1)兩球碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，則

解得

(2)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)勢(shì)

電阻R的功率

(3)通過(guò)金屬桿的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可知：P、Q板間的電場(chǎng)方向向上，粘合體受到的電場(chǎng)力方向向上．在半圓軌道最低點(diǎn)的速度恒定，如果金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度過(guò)小，粘合體受到的電場(chǎng)力較小，不能達(dá)到最高點(diǎn)T，臨界狀態(tài)是粘合體剛好達(dá)到T點(diǎn)，此時(shí)金屬桿的角速度ω1為最小，設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1，粘合體達(dá)到T點(diǎn)時(shí)的速度為v1．

在T點(diǎn)，由牛頓第二定律得

從S到T，由動(dòng)能定理得

解得

桿轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)勢(shì)

兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度

聯(lián)立解得

如果金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度過(guò)大，粘合體受到的電場(chǎng)力較大，粘合體在S點(diǎn)就可能脫離圓軌道，臨界狀態(tài)是粘合體剛好在S點(diǎn)不脫落軌道，此時(shí)金屬桿的角速度ω2為最大，設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E2．

在S點(diǎn)，由牛頓第二定律得

桿轉(zhuǎn)動(dòng)的電動(dòng)勢(shì)

兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度

聯(lián)立解得

綜上所述，要使兩球碰后的粘合體能從半圓軌道的最低點(diǎn)S做圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)T，金屬桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍為：.