Question

【題目】如圖所示，一小車上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圓弧軌道BCD組成，小車緊靠臺階靜止在光滑水平地面上，且左端與粗糙水平臺等高．水平臺與物塊P間的滑動摩擦因數(shù)為μ=0.2，水平臺上有一彈簧，彈簧左端固定，彈簧右端與一個質量為m1=5kg的小物塊接觸但不固定，此時彈簧處于壓縮狀態(tài)并鎖定，彈簧的彈性勢能EP=100J．現(xiàn)解除彈簧的鎖定，小物塊P從M點出發(fā)，MN間的距離為d=lm．物塊P到N點后與靜止在小車左端的質量為m2=lkg的小物塊Q（可視為質點）發(fā)生彈性碰撞（碰后立即將小物塊P取走，使之不影響后續(xù)物體的運動）．已知AB長為L=10m，小車的質量為M=3kg．取重力加速度g=10m/s2 ，

（1）求碰撞后瞬間物塊Q的速度大小，
（2）若物塊Q在半圓弧軌道BCD上經(jīng)過一次往返運動（運動過程中物塊始終不脫離軌道），最終停在小車水平部分AB的中點，求半圓弧軌道BCD的半徑至少多大？
（3）若小車上表面AB和半圓弧軌道BCD面均光滑，半圓弧軌道BCD的半徑為R=1.2m，物塊Q可以從半圓弧軌道BCD的最高點D飛出，求其再次落回小車時，落點與B點的距離S為多少？（結果可用根號表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：物塊P被彈簧彈開運動到N點速度為v1，由能量守恒得：

代入數(shù)據(jù)解得v1=6m/s．

物塊P、Q發(fā)生彈性碰撞，碰后P、Q的速度為v1'、v2，規(guī)定向右為正方向，

m1v1=m1v1′+m2v2，

代入數(shù)據(jù)解得：v1'=4m/s，v2=10 m/s或v1'=6m/s，v2=0 （舍）．

答：碰撞后瞬間物塊Q的速度大小為10m/s．

（2）物塊Q從開始運動到與小車相對靜止過程，共同速度為v3，系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：

m2v2=（m2+M）v3，

代入數(shù)據(jù)解得：v3=2.5m/s，

系統(tǒng)能量守恒： ，

代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.25．

Q至C點與車共速時，半徑R最小，系統(tǒng)能量守恒，有： ，

代入數(shù)據(jù)解得：R=1.25m．

答：半圓弧軌道BCD的半徑至少為1.25m．

（3）設Q通過D點時，Q與小車的速度分別為v4、v5系統(tǒng)動量、能量守恒，規(guī)定向右為正方向，

m2v2=m2v4+Mv5，

m2g2R

解得：v4=﹣2m/s，v5=4 m/s或v4=7m/s，v5=1 m/s（舍）

物塊Q通過D點時相對小車的速度為：v4′=6 m/s，

物塊Q再次落回小車時與物塊的距離為：s= ，

代入數(shù)據(jù)解得：s= ．

答：落點與B點的距離S為 ．

【解析】（1）彈簧彈開的過程，彈簧彈性勢能轉化成為內能和動能。再結合動量守恒分析即可。
（2）物塊和小車組成的系統(tǒng)，動量守恒。求出共同速度。再結合能量守恒定律，列式求解即可。
（3）根據(jù)動量守恒能量守恒求出Q通過D點時的速度，再利用平拋運動的規(guī)律求出，物塊與小車之間的位移。