Question

7．如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O(shè)₁（R，0）為圓心和O₂（R，-3.57R ）為圓心，R=0.2m為半徑的兩個(gè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，y軸與圓O₂相切于A（0，-3.57R ）點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1.57×10^-4T，方向均垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=2×10^-2N/C，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可以在xOy平面內(nèi)向 y 軸右側(cè)（x＞0）各個(gè)方向發(fā)射出速率相同的正、負(fù)帶電的粒子，已知正、負(fù)帶電粒子在該磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也均為R=0.2m，正、負(fù)帶電粒子的比荷均為：$\frac{q}{m}$=5×10⁸C/kg． 不計(jì)粒子重力及阻力的作用．求：
（1）求粒子源發(fā)射出帶電粒子的速度的大�。�
（2）求速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的正帶電粒子到達(dá)y軸所需要的時(shí)間；
（3）求正、負(fù)帶電粒子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力就能求出正負(fù)粒子射出的速度．
（2）先弄清粒子沿x軸正方向射入后向下偏轉(zhuǎn)從點(diǎn)（R，-R）豎直向下射出⊙O₁圓形磁場(chǎng)區(qū)域再做勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入⊙O₂圓形磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在y軸的A點(diǎn)，所以總時(shí)間是三段時(shí)間的和．
（3）所有正粒子均打到y(tǒng)軸上的A點(diǎn)，而負(fù)粒子從⊙O₁磁場(chǎng)區(qū)域后豎直向上進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋規(guī)律可以求出從最右邊射出的負(fù)粒子打在y軸的位置最高．先求出時(shí)間，再求出向上勻速運(yùn)動(dòng)的位移，那么打在y軸上的范圍就很容易求出．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑為R=0.2 m
  則：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$                  
  解得：v=$\frac{BqR}{m}$=1.57×10⁴m/s       
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的正帶電粒子的軌跡為半徑為R=0.2 m四分之一圓周，從（R，-R）點(diǎn)沿y軸負(fù)
  方向射出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入O₂磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)y軸上A點(diǎn)．正帶電粒子進(jìn)入O₂磁場(chǎng)區(qū)域
  的軌跡還是半徑為R=0.2 m四分之一圓周．   
  在O₁磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s              
  做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{1.57R}{v}$1=$\frac{1.57×0.2}{1.57×1{0}^{4}}s$=2×10^-5s   
  在O₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s               
  正帶電粒子運(yùn)動(dòng)到達(dá)y軸所需要的總時(shí)間：
  t=t₁+t₂+t₃=6×10^-5s       
（3）粒子源發(fā)射出所有帶正電的粒子出磁場(chǎng)后均沿y軸負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)后再進(jìn)入O₂磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
  而全部到達(dá)y軸上A（0，-3.57R）點(diǎn)，即帶正電的粒子全部到達(dá)y軸上A點(diǎn)．
  粒子源發(fā)射出所有帶負(fù)電的粒子射出磁場(chǎng)后均沿y軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)而做類
  平拋運(yùn)動(dòng)．對(duì)最右邊的帶負(fù)電的粒子：
  $2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$      而   Eq=ma
  解得：a=1×10⁷m/s²，t=$2\sqrt{2}$×10^-4s=2.828×10^-4 s        
  h=vt=1.57×10⁴m/s×2.828×10^-4s=4.44 m
  y_max=R+h=0.2 m+4.44 m=4.64 m          
  y_min=R=0.2 m
  負(fù)粒子在y軸上的范圍：0.2 m到4.64 m（4.6 m ）之間       
答：（1）粒子源發(fā)射出帶電粒子的速度的大小為1.57×10⁴m/s．
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的正帶電粒子到達(dá)y軸所需要的時(shí)間為6×10^-5s．     
（3）正、負(fù)帶電粒子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍是：正粒子均打在y軸的A點(diǎn)；負(fù)粒子打在y軸上范圍是0.2m--4.64m．

點(diǎn)評(píng) 本題的巧妙之處在于：正負(fù)粒子是以相同的速率向各個(gè)方向射入圓形磁場(chǎng)，由于半徑與磁場(chǎng)區(qū)域半徑相同，則正負(fù)粒子向上偏轉(zhuǎn)后均豎直向上進(jìn)入電場(chǎng)，而正粒子豎直向下射出圓形磁場(chǎng)，當(dāng)再次進(jìn)入圓形磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后，由對(duì)稱性則必都打在A點(diǎn)．