Question

1．如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點(diǎn)是半球的球心，虛線OO′表示光軸（過球心O與半球底面垂直的直線）．已知玻璃的折射率為1.5．現(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線）．求：
（i）從球面射出的光線對應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值；
（ii）距光軸$\frac{R}{3}$的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）由全反射定理得到可從球面射出的光線的范圍．進(jìn)而得到最大距離；
（2）由入射光線的位置得到入射角，進(jìn)而得到折射光線，從而得到折射光線與光軸的交點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．

解答 解：（i）如圖，從底面上A處射入的光線，在球面上發(fā)生折射時的入射角為i，當(dāng)i等于全反射臨界角i_c時，對應(yīng)入射光線到光軸的距離最大，設(shè)最大距離為l．
i=i_c
設(shè)n是玻璃的折射率，由全反射臨界角的定義有
nsini_c=l
由幾何關(guān)系有
sini=$\frac{l}{R}$
聯(lián)立可得：l=$\frac{2}{3}$R

（ii）設(shè)與光軸相距$\frac{R}{3}$的光線在球面B點(diǎn)發(fā)生折射時的入射角和折射角分別為i₁和r₁，由折射定律有
nsini₁=sinr₁
設(shè)折射光線與光軸的交點(diǎn)為C，在△OBC中，由正弦定理有
$\frac{sin∠C}{R}=\frac{sin（180°-{r}_{1}）}{OC}$
由幾何關(guān)系有
∠C=r₁-i₁
sini₁=$\frac{1}{3}$
聯(lián)立可得：OC=$\frac{3（2\sqrt{2}+\sqrt{3}）}{5}$R≈2.74R．
答：（i）從球面射出的光線對應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值為$\frac{2}{3}R$；
（ii）距光軸$\frac{R}{3}$的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點(diǎn)到O點(diǎn)的距離2.74R．

點(diǎn)評 光能發(fā)生折射，即光不發(fā)生全反射，所以，入射角小于臨界角，由此得到可發(fā)生折射的光線范圍．