Question

如圖甲所示，兩根足夠長、電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為L₁=1m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5Ω的電阻；質(zhì)量為m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的勻質(zhì)金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，距離導(dǎo)軌最上端為L₂=4m，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．整個(gè)裝置處于一勻強(qiáng)磁場中，該勻強(qiáng)磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的情況如圖乙所示．（g=10m/s²）
（1）保持ab棒靜止，在0～4s內(nèi)，通過金屬棒ab的電流多大？方向如何？
（2）為了保持ab棒靜止，需要在棒的中點(diǎn)施加了一平行于導(dǎo)軌平面的外力F，求當(dāng)t=2s時(shí)，外力F的大小和方向；
（3）5s后，撤去外力F，金屬棒將由靜止開始下滑，這時(shí)用電壓傳感器將R兩端的電壓即時(shí)采集并輸入計(jì)算機(jī)，在顯示器顯示的電壓達(dá)到某一恒定值后，記下該時(shí)刻棒的位置，測(cè)出該位置與棒初始位置相距2.4m，求金屬棒此時(shí)的速度及下滑到該位置的過程中在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）在0～4s內(nèi)，由法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律求解．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出0～4s內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出電流，從而求出安培力，利用棒子的平衡求出外力F的大小和方向．
（3）導(dǎo)體棒由靜止下滑，受重力、支持力、安培力，當(dāng)下滑的加速度減小為0時(shí)，速度穩(wěn)定，電壓也穩(wěn)定，根據(jù)平衡求出此時(shí)的速度，再根據(jù)能量守恒求出總熱量，根據(jù)電流時(shí)刻相同，QR=

R

R+r

Q總．

解答：解：（1）在0～4s內(nèi)，由法拉第電磁感應(yīng)定律：
E=

△Φ

△t

=

△B

△t

L1L2=

1

4

×1×4V=1V
由閉合電路歐姆定律：
I=

E

R+r

=

1

1.5+0.5

A=0.5A
方向由a→b．   
（2）當(dāng)t=2s時(shí)，ab棒受到沿斜面向上的安培力F_安=BIL₁=0.5×0.5×1N=0.25N
對(duì)ab棒受力分析，由平衡條件：F+F_安-mgsin30°=0
F=mgsin30°-F_安=（0.2×10×0.5-0.25）N=0.75N
方向沿導(dǎo)軌斜面向上．    
（3）ab棒沿導(dǎo)軌下滑切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，有：E′=B′L₁v
產(chǎn)生的感應(yīng)電流　I′=

E′

R+r

=

B′L1v

R+r

棒下滑至速度穩(wěn)定時(shí)，棒兩段電壓也恒定，此時(shí)ab棒受力平衡，
有：mgsin30°=B′I′L₁
解得：v=

mg(R+r)sin30°

B′2L12

=

0.2×10×(1.5+0.5)×0.5

1.02×12

m/s=2m/s
由動(dòng)能定理，得mgSsin30°-Q總=

1

2

mv2-0
Q總=mgSsin30°-

1

2

mv2=(0.2×10×2.4×0.5-

1

2

×0.2×22)J=2J
∴QR=

R

R+r

Q總=

1.5

1.5+0.5

×2J=1.5J
答：（1）保持ab棒靜止，在0～4s內(nèi)，通過金屬棒ab的電流是0.5A，方向由a→b．
（2）為了保持ab棒靜止，需要在棒的中點(diǎn)施加了一平行于導(dǎo)軌平面的外力F，求當(dāng)t=2s時(shí)，外力F的大小是0.75N，方向沿導(dǎo)軌斜面向上．    
（3）金屬棒此時(shí)的速度是2m/s，下滑到該位置的過程中在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是1.5J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握法拉第電磁感應(yīng)定律E=n

△φ

△t

=n

△B

△t

S，以及導(dǎo)體棒切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv．