Question

如圖甲，PNQ為豎直放置的半徑為0.1m的半圓形軌道，在軌道的最低點(diǎn)P和最高點(diǎn)Q各安裝了一個(gè)壓力傳感器，可測(cè)定小球在軌道內(nèi)側(cè)，通過這兩點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_P和F_Q．軌道的下端與一光滑水平軌道相切，水平軌道上有一質(zhì)量為0.06kg的小球A，以不同的初速度v₀與靜止在軌道最低點(diǎn)P處稍右側(cè)的另一質(zhì)量為0.04kg的小球B發(fā)生碰撞，碰后形成一整體（記為小球C）以共同速度v沖入PNQ軌道．（A、B、C三小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²）
（1）若F_P和F_Q的關(guān)系圖線如圖乙所示，求：當(dāng) F_P=13N 時(shí)所對(duì)應(yīng)的入射小球A的初速度v₀為多大？
（2）當(dāng)F_P=13N時(shí)，AB所組成的系統(tǒng)從A球開始向左運(yùn)動(dòng)到整體達(dá)到軌道最高點(diǎn)Q全過程中所損失的總機(jī)械能為多少？
（3）若軌道PNQ光滑，小球C均能通過Q點(diǎn)．試推導(dǎo)F_P隨F_Q變化的關(guān)系式，并在圖丙中畫出其圖線．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第三定律：小球在P、Q兩點(diǎn)所受軌道的彈力大小與小球?qū)�軌道的壓力大小相等．小球�?jīng)過P、Q兩點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道對(duì)小球的支持力的合力提供向心力，AB相碰，動(dòng)量守恒，由牛頓第二定律及動(dòng)量守恒定律列式即可求出速度；
（2）先求出AB相碰所損失的機(jī)械能，根據(jù)動(dòng)能定理求出從球C從P運(yùn)動(dòng)至Q的過程中摩擦力做功，進(jìn)而求出小球損失的機(jī)械能．
（2）軌道光滑，小球C由P至Q的過程中機(jī)械能守恒，可列出小球經(jīng)過AC兩點(diǎn)的速度關(guān)系，再由牛頓第二定律得到F_P隨F_Q變化的關(guān)系式，畫出圖線．

解答：解：（1）設(shè)A球的質(zhì)量為M，B球的質(zhì)量為m．由牛頓第三定律可知，小球在P、Q兩點(diǎn)所受軌道的彈力大小為：
N_P=F_P，N_Q=F_Q…①
在P點(diǎn)由牛頓第二定律得：NP-(M+m)g=(M+m)

vP2

R

…②
解得：vp=2

3

m/s
AB相碰，動(dòng)量守恒得：Mv₀=（M+m）v_P
解得：v0=

10 3

3

m/s
（2）AB相碰所損失的機(jī)械能為：△E1=

1

2

Mv02-

1

2

(M+m)vP2=0.4J
球C在Q點(diǎn)由牛頓第二定律得：NQ+(M+m)g=(M+m)

vQ2

R

…③
球C從P運(yùn)動(dòng)至Q的過程，由動(dòng)能定理得：Wf-(M+m)g2R=

1

2

(M+m)vQ2-

1

2

(M+m)vp2
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：W_f=-0.2J
故球C上升過程中所損失的機(jī)械能為：△E₂=0.2J
故整個(gè)系統(tǒng)在全過程中所損失的機(jī)械能為：△E=△E₁+△E₂=0.6J
（3）因軌道光滑，小球C由P至Q的過程中機(jī)械能守恒為：

1

2

(M+m)vp2=

1

2

(M+m)vQ2+(M+m)g?2R…④
聯(lián)立①②③④得：N_P-N_Q=6（M+m）g
即：F_Q=F_P-6
圖線如圖所示   
答：（1）當(dāng) F_P=13N 時(shí)所對(duì)應(yīng)的入射小球A的初速度v₀為

10 3

3

m/s；
（2）當(dāng)F_P=13N時(shí)，AB所組成的系統(tǒng)從A球開始向左運(yùn)動(dòng)到整體達(dá)到軌道最高點(diǎn)Q全過程中所損失的總機(jī)械能為0.6J；
（3）若軌道PNQ光滑，小球C均能通過Q點(diǎn)．F_P隨F_Q變化的關(guān)系式為F_Q=F_P-6（N），圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題中，向心力知識(shí)往往與動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒綜合，抓住速度是聯(lián)系它們之間的紐帶．