Question

17．如圖所示，一個可視為質點的質量為m=1kg的小球，以某一初速度從A點水平拋出，恰好從豎直圓管BCD的B點沿切線方向進入圓管，經BCD后從圓管的最高點D水平射出，恰好又落到B點．已知圓弧的半徑為R=0.3m，且A與D在同一水平線上，BC弧對應的圓心角θ=60°，不計空氣阻力，g=10m/s²．求：
（1）AB兩點間的水平距離；
（2）小球第一次落在B點時，小球對管壁的做用力大�。�
（3）試判斷圓弧管道是否光滑，并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A到B做平拋運動且在B處的速度方向沿切線方向求解；
（2）對小球在B處進行受力分析，在徑向應用牛頓第二定律求解；
（3）根據從D到B為平拋運動求得在D點的速度，然后分別求得在B和D的機械能，根據機械能是否相等得到管道是否光滑．

解答 解：（1）小球從A到B做平拋運動，那么有：$R（1+cosθ）=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{2R（1+cosθ）}{g}}=0.3s$；
那么小球在B處的豎直分速度為：v_y=gt=3m/s，水平分速度為：${v}_{x}=\sqrt{3}m/s$，在B處的速度為：${v}_{B}=2\sqrt{3}m/s$；
所以，AB兩點間的水平距離為：$x={v}_{x}t=0.3\sqrt{3}m=0.52m$；
（2）對小球進行受力分析可知：管壁對小球的作用力F指向圓心，在徑向方向上應用牛頓第二定律可得：$F-mgcosθ=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：$F=mgcosθ+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=45N$；
那么，由牛頓第三定律可得：小球第一次落在B點時，小球對管壁的作用力大小為45N；
（3）小球從D到B做平拋運動，故有：$R（1+cosθ）=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，Rsinθ=v_Dt
解得：${v}_{D}=\frac{Rsinθ}{t}=\frac{Rsinθ}{\sqrt{\frac{2R（1+cosθ）}{g}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}m/s$；
那么以B的為零勢能面，則小球在B處的機械能為：${E}_{B}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=6J$
在D處的機械能為：${E}_{D}=mgR（1+cosθ）+\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{39}{8}J＜{E}_{B}$；
所以，小球從B到D機械能減少，故圓弧管道不光滑；
答：（1）AB兩點間的水平距離為0.52m；
（2）小球第一次落在B點時，小球對管壁的做用力大小為45N；
（3）圓弧管道不光滑．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．