Question

2．如圖a所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于xOy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁按圖b所示規(guī)律變化（垂直于紙面向外為正）．t=0時(shí)，一比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁵C/kg的帶正電粒子從原點(diǎn)沿y軸正方向射入，速度大小v=5×10⁴m/s，不計(jì)粒子重力．
（1）求帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）求t=$\frac{π}{2}$×10^-4s時(shí)帶電粒子的坐標(biāo)．
（3）保持b中磁場(chǎng)不變，再加一垂直于xOy平面向外的恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.3T，在t=0時(shí)，粒子仍以原來(lái)的速度從原點(diǎn)射入，求粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程即可求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）先求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，再分別求出在0～$\frac{π}{4}$×10^-4s和$\frac{π}{4}$×10^-4s～$\frac{π}{2}$×10^-4s過(guò)程中，粒子運(yùn)動(dòng)了的周期和圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用幾何關(guān)系求出帶電粒子的坐標(biāo)；
（3）畫(huà)出施加B₂=0.3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與原磁場(chǎng)疊加后規(guī)律變化圖，分別求出當(dāng)nT≤t≤nT+$\frac{T}{2}$和nT+$\frac{T}{2}$≤t≤（n+1）T（n=0，1，2，…）時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)了的周期，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖即可求出粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：
r=1m                        
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，${T_0}=\frac{2πr}{v}=\frac{2π}{5}×{10^{-4}}$s      
在0～$\frac{π}{4}×{10^{-4}}$s過(guò)程中，粒子運(yùn)動(dòng)了$\frac{{5{T_0}}}{8}$，
圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，${θ_1}=\frac{5π}{4}$
在$\frac{π}{4}×{10^{-4}}$s～$\frac{π}{2}×{10^{-4}}$s過(guò)程中，粒子又運(yùn)動(dòng)了$\frac{{5{T_0}}}{8}$，
圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，${θ_2}=\frac{5π}{4}$
軌跡如圖a所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
橫坐標(biāo)：$x=2r+2rsin\frac{π}{4}=（2+\sqrt{2}）m≈3.41$m   
縱坐標(biāo)：$y=-2rcos\frac{π}{4}=-\sqrt{2}m≈-1.41$m        
帶電粒子的坐標(biāo)為（3.41m，-1.41m）
（3）施加B₂=0.3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與原磁場(chǎng)疊加后，如圖b所示，
①當(dāng)$nT≤t＜nT+\frac{T}{2}$（n=0，1，2，…）時(shí)，${T_1}=\frac{2πm}{{q（{{B_1}+{B_2}}）}}=\frac{π}{4}×{10^{-4}}$s                 
②當(dāng)$nT+\frac{T}{2}≤t＜（n+1）T$（n=0，1，2，…）時(shí)，${T_2}=\frac{2πm}{{q（{{B_1}-{B_2}}）}}=π×{10^{-4}}s$
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖c所示，則粒子回到原點(diǎn)的時(shí)刻為，${t_1}=（\frac{π}{4}+2nπ）×{10^{-4}}s$
${t_2}=2（n+1）π×{10^{-4}}s$（n=0，1，2，…）     
答：（1）求帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為1m；
（2）t=$\frac{π}{2}$×10^-4s時(shí)帶電粒子的坐標(biāo)為[3.41m，-1.41m]；
（3）粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻為t₁=（$\frac{π}{4}$+2nπ）×10^-4s，t₂=2（n+1）π×10^-4s （n=0，1，2，…）．

點(diǎn)評(píng) 此題是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖并結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解，同時(shí)要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，過(guò)程比較復(fù)雜，意在考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．