Question

5．如圖為固定在水平面上的半徑為r=1m的光滑金屬圓環(huán)導(dǎo)軌，沿直徑AE有等間距的C、O、D三點(diǎn)，A、E分別接有短電阻絲（圖中用粗線(xiàn)表示），R₁=R₂=8Ω，導(dǎo)軌其它部分電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面，一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.2m質(zhì)量為m=1kg的金屬桿在外力F的作用下在A、E間做周期為T(mén)=$\frac{π}{2}$（s）的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，不計(jì)桿的電阻．已知做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．試求：
（1）在金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期內(nèi)流過(guò)金屬桿的電量q；
（2）金屬桿向右過(guò)O點(diǎn)時(shí)流過(guò)金屬桿的電流大小和方向，電阻R₁的電功率P₁；
（3）金屬桿向右過(guò)C點(diǎn)時(shí)金屬桿受到的外力F；
（4）在金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期中金屬桿受到的外力F隨時(shí)間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期內(nèi)流過(guò)金屬桿的電量q=$\overline{I}△t$=$\frac{△Φ}{R}$，帶入數(shù)據(jù)即可求出
（2）金屬桿向右過(guò)O點(diǎn)時(shí)，根據(jù)E=BIL、$I=\frac{E}{R}$、P=I²R、可計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，感應(yīng)電流和電功率
（3）金屬桿向右過(guò)C點(diǎn)時(shí)，∠AON=60°（N為虛線(xiàn)與圓環(huán)導(dǎo)軌的交叉點(diǎn)），則根據(jù)“做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)”計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)在水平方向的分速度和分加速度，根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算出金屬桿切割磁感線(xiàn)的有效長(zhǎng)度和速度，結(jié)合安培力的定義式和牛頓第二定律，可求出金屬桿受到的外力F
（4）金屬桿向右過(guò)C點(diǎn)時(shí)，∠AON=θ（N為虛線(xiàn)與圓環(huán)導(dǎo)軌的交叉點(diǎn)），則根據(jù)“做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)”計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)在水平方向的分速度和分加速度，根據(jù)幾何知識(shí)計(jì)算出金屬桿切割磁感線(xiàn)的有效長(zhǎng)度和速度，結(jié)合安培力的定義式和牛頓第二定律，可推導(dǎo)出金屬桿受到的外力F隨時(shí)間變化的規(guī)律

解答 解：設(shè)R₁、R₂的并聯(lián)等效電阻為R，則有：R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=4Ω
（1）設(shè)金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期內(nèi)流過(guò)金屬桿的電量為：q=$\overline{I}△t$=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{Bπ{r}^{2}}{R}$=$\frac{π}{4}$C
（2）由題意可知金屬桿過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度為：v_o=ωr=$\frac{2π}{T}r$=4m/s，
此時(shí)通過(guò)金屬桿的電流大小為：I_o=$\frac{2Br{v}_{0}}{R}$=2A
根據(jù)右手定則可知此時(shí)感應(yīng)電流方向向上
電阻R₁的電功率為：P₁=$（\frac{{I}_{O}}{2}）^{2}$R₁=8W
（3）如右圖所示，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑AE上的投影運(yùn)動(dòng)的速度為：v=v₀sin60°=$2\sqrt{3}$m/s
有效切割長(zhǎng)度為：L=2rsin60°=$\sqrt{3}$m
流過(guò)金屬桿的電流大小為：I_C=$\frac{BLv}{R}$=1.5A
桿與圓環(huán)的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度的水平分量為金屬桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度，因此有：
a=rω²cos60°=8m/s²
根據(jù)牛頓第二定律可得：F-BI_CL=ma，
解得：F=（8+1.5$\sqrt{3}$）N
（4）如上圖所示，設(shè)虛線(xiàn)與圓環(huán)導(dǎo)軌的交叉點(diǎn)為N，∠AON=θ，由題意可知θ=ωt，由圖可得金屬桿切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=B（2rsinωt）（ωrsinωt）=2ωBr²sin²ωt
流過(guò)金屬桿的電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2B{r}^{2}ωsi{n}^{2}ωt}{R}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得：F-F_A=ma，
即為：F=ma+F_A=mω²rcosωt+BI（2rsinωt）=mω²rcosωt+$\frac{4ω{B}^{2}{r}^{3}}{R}si{n}^{3}ωt$=16cos4t+4sin³4t
答：
（1）在金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期內(nèi)流過(guò)金屬桿的電量q為$\frac{π}{4}$C
（2）金屬桿向右過(guò)O點(diǎn)時(shí)流過(guò)金屬桿的電流大小和方向，電阻R₁的電功率P₁為8W
（3）金屬桿向右過(guò)C點(diǎn)時(shí)金屬桿受到的外力F為（8+1.5$\sqrt{3}$）N
（4）在金屬桿由A運(yùn)動(dòng)到E的半個(gè)周期中金屬桿受到的外力F隨時(shí)間變化的規(guī)律為F=cos4t+4sin³4t

點(diǎn)評(píng) （1）本題考查了安培力、電功率的計(jì)算和牛頓第二定律及速度、加速度的分解
（2）“做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)”是根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的速度計(jì)算金屬桿的速度、加速度的關(guān)鍵