Question

（2013?嘉興一模）如圖（a）的輪軸，它可以繞垂直于紙面的光滑固定水平軸0轉(zhuǎn)動(dòng)．輪上繞有輕質(zhì)柔軟細(xì)線(xiàn)，線(xiàn)的一端系一重物，另一端系一質(zhì)量為m的金屬桿．在豎直平 面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠
長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電 阻，其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直．開(kāi)始時(shí)金屬桿置于 導(dǎo)軌下端，將質(zhì)量為M的重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降．運(yùn) 動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且 接觸良好，忽略所有摩擦．

（1）重物勻速下降的速度V的大小是多少？
（2）對(duì)一定的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，重物的質(zhì)量M取不同的值，測(cè)出相應(yīng)的 重物做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，可得 出v-M實(shí)驗(yàn)圖線(xiàn)．圖（b）中 畫(huà)出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線(xiàn)，試根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算B₁和B₂的比值．
（3）若M從靜止到勻速的過(guò)程中一目下降的高度為h，求這一過(guò)程中R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，合力為零．分析金屬桿的受力情況，由F=BIL、I=

E

R

、E=BLv結(jié)合推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，即可由平衡條件求出重物勻速下降的速度v；
（2）根據(jù)第1題v的表達(dá)式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．
（2）若M從靜止到勻速的過(guò)程中下降高度h的過(guò)程中，M的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢(shì)能、系統(tǒng)的動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）金屬桿達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，受繩子拉力F、金屬桿的重力mg、向下的安培力F_A．
則：F=F_A+mg  ①
其中 F=Mg     ②
又對(duì)金屬桿有：安培力F_A=BIL，感應(yīng)電流I=

E

R

，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv
則得 F_A=

B2L2v

R

    ③
所以由①②③得  v=

(M-m)gR

B2L2

  ④
（2）由④式可得v-M的函數(shù)關(guān)系式為
  v=

gR

B2L2

M-

mgR

B2L2

結(jié)合圖線(xiàn)可知，斜率
  k=

gR

B2L2

          
所以
k₁=

16-0

12-2

m?s^-1/kg=1.6m?s^-1/kg    
k₂=

9-0

12-2

=m?s^-1/kg=0.9m?s^-1/kg 
故：

B1

B2

=

K2 K1

=

3

4

（3）由能量關(guān)系，可得R上產(chǎn)生的焦耳熱為
  Q=（M-m）gh-

1

2

（M+m）v²
將v代入可得：
 Q=（M-m）g[h-

(M2-m2)gR2

2B4L4

]
答：
（1）重物勻速下降的速度v的大小是

(M-m)gR

B2L2

．      
（2）B₁和B₂的比值為3：4．
（3）這一過(guò)程中R上產(chǎn)生的焦耳熱為（M-m）g[h-

(M2-m2)gR2

2B4L4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題中運(yùn)用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的斜率，得到B₁和B₂的比值，中等難度．