Question

16．如圖所示，在xOy平面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，其中x＜0區(qū)域無磁場、在0＜x＜a區(qū)域的磁場方向垂直xOy平面向里、在x＞a區(qū)域的磁場方向垂直xOy平面向向外． 一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以一定的速度沿x軸正方向射入磁場．
（1）若該粒子恰好過點(diǎn)（a，（$\sqrt{2}$-1）a），則粒子的速度為多大；
（2）在滿足（1 ）的情況下，粒子從磁場中射出時(shí)距原點(diǎn)O的距離；
（3）若粒子從O點(diǎn)入射的速度大小已知，且無（1）中條件限制，為使粒子能夠回到原點(diǎn)O，則a應(yīng)取何值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，由幾何關(guān)系求得半徑R，然后根據(jù)洛倫茲力做向心力求得速度；
（2）根據(jù)（1）中運(yùn)動(dòng)半徑，求得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后由幾何關(guān)系求得距離；
（3）由粒子可以回到O點(diǎn)根據(jù)幾何關(guān)系求得機(jī)子在0～a轉(zhuǎn)過的中心角，進(jìn)而得到半徑，從而根據(jù)洛倫茲力做向心力求得半徑聯(lián)立求得a．

解答 解：（1）粒子恰好過點(diǎn)（a，（$\sqrt{2}$-1）a），故由幾何關(guān)系可得：${R}^{2}={a}^{2}+[R-（\sqrt{2}-1）a]^{2}$，所以，$R=\sqrt{2}a$；
由粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$可得：$v=\frac{BqR}{m}=\frac{\sqrt{2}Bqa}{m}$；
（2）由（1）可知，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，，故$∠{P}_{1}{O}_{1}O=arcsin\frac{a}{R}=45°$，所以，O₂的縱坐標(biāo)為$-Rsin45°+（\sqrt{2}-1）a$=$（\sqrt{2}-2）a$；
那么，O₃的縱坐標(biāo)為$（\sqrt{2}-2）a-2Rsin45°=（\sqrt{2}-4）a$，所以，P₃的縱坐標(biāo)為$（\sqrt{2}-4）a+R=（2\sqrt{2}-4）a$，
所以，在滿足（1 ）的情況下，粒子從磁場中射出時(shí)距原點(diǎn)O的距離$d=0-（2\sqrt{2}-4）a=（4-2\sqrt{2}）a$；
（3）若粒子從O點(diǎn)入射的速度大小已知，且無（1）中條件限制，為使粒子能夠回到原點(diǎn)O，那么由粒子運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于過O₂的水平線對(duì)稱可知O₂在x軸上，
那么，粒子過x=a上P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為$\frac{1}{2}R$，所以，$a=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2Bq}$；
答：（1）若該粒子恰好過點(diǎn)（a，（$\sqrt{2}$-1）a），則粒子的速度為$\frac{\sqrt{2}Bqa}{m}$；
（2）在滿足（1 ）的情況下，粒子從磁場中射出時(shí)距原點(diǎn)O的距離為$（4-2\sqrt{2}）a$；
（3）若粒子從O點(diǎn)入射的速度大小已知，且無（1）中條件限制，為使粒子能夠回到原點(diǎn)O，則a為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，一般由牛頓第二定律求得半徑，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑再聯(lián)立求解．