Question

如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）通過(guò)長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為中心在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，在第2、3象限內(nèi)存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=

mg

q

 （式中g(shù)為重力加速度）．
（1）把細(xì)線拉直，使小球在第4象限與x正方向成θ角處由靜止釋放，要使小球能沿原路返回至出發(fā)點(diǎn)，θ的最小值為多少？
（2）把細(xì)線拉直，使小球從θ=0°處以初速度v₀豎直向下拋出，要使小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則v₀的最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）使小球能沿原路返回至出發(fā)點(diǎn)，由E=

mg

q

，可知重力與電場(chǎng)力相等，合力方向與x軸成45°，所以恰擺到與x軸負(fù)向成45°角對(duì)應(yīng)的θ即為最小．，由動(dòng)能定理可求解
（2）判斷出小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的條件是θ=0°，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律可求解．

解答：解：（1）要使小球釋放后能沿原路返回，則小球釋放后最多只能擺至第二象限細(xì)線與x軸負(fù)向成45°角處（由重力與電場(chǎng)力的合力方向決定）．恰擺到與x軸負(fù)向成45°角對(duì)應(yīng)的θ即為最�。�
對(duì)這一過(guò)程用動(dòng)能定理：qElcos45°-mg（Lsinθ+Lsin45°）=0-0      
解之得：θ=0°                                             
（2）要使小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，只需要讓小球從θ=0° 處出發(fā)能沿半徑為L(zhǎng)的圓周通過(guò)y軸最高點(diǎn)即可．設(shè)通過(guò)y軸最高點(diǎn)時(shí)小球速度為v
對(duì)這一過(guò)程用動(dòng)能定理（電場(chǎng)力做功為零）：-mgL═

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

 
在最高點(diǎn)由牛頓第二定理可得：mg=

mv2

L

                              
聯(lián)立解得：v₀=

3gL

答：（1）θ的最小值為0°
（2）v₀的最小值為

3gL

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是分析題目中的臨界條件，利用動(dòng)能定理解題．