Question

如圖1所示，豎直放置的截面積為S、匝數(shù)為N、電阻為R的線(xiàn)圈兩端分別與兩根相距為L(zhǎng) 的傾斜光滑平行金屬導(dǎo)軌相連．導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其軌道平面與水平面成a角，線(xiàn)圈所在空間存在著方向平行于線(xiàn)圈軸線(xiàn)豎直向下的均勻磁場(chǎng)B₁，磁感應(yīng)強(qiáng)度B_l隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖2所示，導(dǎo)軌所在空間存在垂直于軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂．設(shè)在t=0到t=0.2s的時(shí)間內(nèi)，垂直兩根導(dǎo)軌放置的質(zhì)量為m的金屬桿靜止在導(dǎo)軌上，t=0.2s后，由于B₁保持不變，金屬桿由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，金屬桿的速度會(huì)達(dá)到一個(gè)最大速度v_m．已知：S=0.00l m²，N=l00匝，R=0.05Ω，a=300，L=0.1m，B₂=0.2T，g取l0m/s²．（除線(xiàn)圈電阻外，其余電阻均不計(jì)，且不考慮由于線(xiàn)圈中電流變化而產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)對(duì)電路的影響）．
（1）求金屬桿的質(zhì)量m并判斷磁場(chǎng)B₂的方向；
（2）求金屬桿在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的最大速度vm；
（3）若金屬桿達(dá)到最大速度時(shí)恰好進(jìn)入軌道的粗糙部分，軌道對(duì)桿的滑動(dòng)摩擦力等于桿所受重力的一半，求棒運(yùn)動(dòng)到最大速度后繼續(xù)沿軌道滑動(dòng)的最大距離Xm及此過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）在t=0到t=0.2s的時(shí)間內(nèi)，根據(jù)圖象和法拉弟電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出線(xiàn)圈中感應(yīng)電流，由金屬桿平衡求出m，并確定B₂的方向．
（2）在t=0.2s后，B₁保持不變，金屬桿沿導(dǎo)軌下滑，先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，最后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡平衡條件和安培力公式求出最大速度，
（3）用積分法，根據(jù)牛頓第二定律求出位移，再根據(jù)能量守恒求出焦耳熱．

解答：解：（1）在t=0到t=0.2s的時(shí)間內(nèi)，金屬桿靜止在導(dǎo)軌上
            線(xiàn)圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)   E=N

△Φ

△t

=N

△B1S

△t

            閉合電路中的電流       I=

E

R

            金屬桿所受到的安培力   F=B₂IL
           對(duì)金屬桿，由平衡條件得 mgsinα=F
       由上述程式解得       m=4×10^-3kg
       磁場(chǎng)B₂的方向垂直導(dǎo)軌向下．
（2）在t=0.2s后，由于B₁保持不變，金屬桿由靜止沿斜面下滑，
根據(jù)題意，當(dāng)金屬桿達(dá)到最大速度時(shí)，桿中電流和（1）問(wèn)中電流相等．
     

B 2 2 L2vm

R

=mgsinα
           得到v_m=2.5m/s
（3）金屬運(yùn)動(dòng)到最大速度后軌道變得粗糙后，金屬桿開(kāi)始減速下滑
   對(duì)金屬桿，由牛頓第二定律，得-

B 2 2 L2v

R

=-m

△v

△t

∑（

B 2 2 L2v

R

△t）=∑（m△v）
        得到

B 2 2 L2xm

R

=mv_m
            解得x_m=1.25m
    由能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得

1

2

m

v

2 m

+mgx_msinα=

1

2

mgxm+Q
            解之得Q=0.0125J

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是第3問(wèn)用積分的方法求位移，在中學(xué)階段比較少，關(guān)鍵是根據(jù)加速度的定義式．