Question

豎直放置的平行金屬板M、N相距d=0.2m，板長(zhǎng)L₀=5m，板間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，極板按如圖所示的方式接入電路．足夠長(zhǎng)的、間距為L(zhǎng)=1m的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF水平放置，導(dǎo)軌間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B．電阻為r=1Ω的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置且與導(dǎo)軌接觸良好．已知滑動(dòng)變阻器的總阻值為R=4Ω，滑片P的位置位于變阻器的中點(diǎn)．有一個(gè)質(zhì)量為m=1.0×10^-8kg、電荷量為q=+2.0×10^-5C的帶電粒子，從兩板中間左端沿中心線水平射入場(chǎng)區(qū)．不計(jì)粒子重力．
（1）若金屬棒ab靜止，求粒子初速度v₀多大時(shí)，可以垂直打在金屬板上？
（2）當(dāng)金屬棒ab以速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，讓粒子仍以相同初速度v₀射入，且從兩板間沿直線穿過(guò)，求金屬棒ab運(yùn)動(dòng)速度v的大小和方向．
（3）若將極板M、N間的磁場(chǎng)撤掉，其他條件不變，仍讓粒子以相同初速度v₀射入，要使粒子能打在極板上，則金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度v至少多大？

Answer 1

分析：運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中，若金屬棒靜止，粒子受到洛倫茲力發(fā)生偏轉(zhuǎn)，要使垂直打到極板上，則粒子完成

T

4

圓弧運(yùn)動(dòng)．若金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力的同時(shí)還受電場(chǎng)力，且兩力平衡從而使粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)撤去MN間的磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子將受到電場(chǎng)力作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度．

解答：解：（1）金屬棒ab靜止時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為r₀，則qBv0=

m v 2 0

r0

①
垂直打在金屬板上，則r0=

d

2

②
解得v0=

Bqd

2m

③
代入數(shù)據(jù)得    v₀=100 m/s 
（2）當(dāng)金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)  E=BLv④
板間電壓：U=

E

R+r

?

R

2

⑤
粒子沿直線穿過(guò)板間，則粒子受電場(chǎng)力、洛侖茲力平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)qBv0=q

U

d

⑥
解得：v=

2d(R+r)v0

RL

⑦
代入數(shù)據(jù)得    v=50 m/s  
由左手定則知，粒子所受洛侖茲力方向垂直M板，故粒子所受電場(chǎng)力應(yīng)該垂直于N板，由右手定則知，ab棒應(yīng)水平向右運(yùn)動(dòng)．
（3）若撤掉M，N極板間磁場(chǎng)，其他條件不變，當(dāng)粒子剛好能打在極板的右邊緣時(shí)，ab棒的速度最小，設(shè)為v
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)：

d

2

=

a

2

t2（1分）t =

L0

v0

解得：t=5.0×10^-3s     a=0×10³m/s²
                   又      a=

Uq

md

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)  E=BLv
板間電壓：U=

E

R+r

?

R

2

聯(lián)立得：v=

2mda(R+r)

BLRq

解得：v=4 m/s

點(diǎn)評(píng)：金屬棒的切割磁感線，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，金屬棒相當(dāng)于一個(gè)電源接入電路．當(dāng)金屬棒勻速直線運(yùn)動(dòng)，則電動(dòng)勢(shì)穩(wěn)定．
本題考查了僅有洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；也有洛倫茲力與電場(chǎng)力相等時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)；也有僅有電場(chǎng)力讓其做類平拋運(yùn)動(dòng)．