Question

2．設(shè)質(zhì)量為m的地球衛(wèi)星正繞著地球沿半徑為r₀的圓形軌道運(yùn)動(dòng)．
（1）若地球衛(wèi)星的機(jī)械能為E、動(dòng)能為E_k，地球質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G．已知與地球相距為r₀的地球衛(wèi)星的引力勢(shì)能E_P=-$\frac{GMm}{{r}_{0}}$，試證明E=-E_k=-$\frac{GMm}{2{r}_{0}}$．
（2）若衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)受到微弱的摩擦阻力f（常量）作用，使衛(wèi)星軌道半徑r逐漸變小而接近地球．已知衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)一周，軌道半徑的減小量△r?r．試證明：衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)一周，①軌道半徑減小量△r與軌道半徑r的3次方成正比；②速率增量△v與軌道半徑r的$\frac{2}{3}$次方成正比．

Answer 1

分析 （1）對(duì)衛(wèi)星來講，萬有引力提供向心力，結(jié)合在地球表面萬有引力約等于重力求動(dòng)能，動(dòng)能加重力勢(shì)能等于機(jī)械能，根據(jù)題意求機(jī)械能．
（2）由動(dòng)能定理寫出機(jī)械能的變化量，然后結(jié)合（1）的結(jié)論即可證明△r與軌道半徑r的3次方成正比；結(jié)合（1）中的v²=$\frac{GM}{{r}_{0}}$與動(dòng)能的表達(dá)式即可證明．

解答 證明：（1）根據(jù)題意，衛(wèi)星機(jī)械能E=E_P+E_K，其中E_P=-$\frac{GMm}{{r}_{0}}$，E_K=$\frac{1}{2}$mv²，
衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力，得：$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{0}}=\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$
得：v²=$\frac{GM}{{r}_{0}}$，E=$\frac{GMm}{2{r}_{0}}-\frac{GMm}{{r}_{0}}$=$-\frac{GMm}{2{r}_{0}}$．
（2）①運(yùn)動(dòng)一周后，阻力做功使機(jī)械能減少，即
f×2πr=-△E=$\frac{GMm}{2}$$•（\frac{1}{r+△r}-\frac{1}{r}）$，
因?yàn)椤鱮?r，得△r=-$\frac{4πf{r}^{3}}{GMm}$，
即：|△r|∝r³．
②由衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力，得：$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{0}}=\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$
得：v²=$\frac{GM}{{r}_{0}}$，
$△{E}_{k}=\frac{1}{2}m（v+△v）^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
因?yàn)椤鱮?r，所以：△v=$\frac{\sqrt{GMm}}{2\root{3}{r}}•△r$，
得出：△v∝${r}^{\frac{2}{3}}$．
證畢

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律與功能關(guān)系等知識(shí)的綜合，難度較大，難點(diǎn)在于能夠正確地建立物理模型．