Question

6．如圖甲所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在傾角為θ的絕緣斜面上，頂部接有一阻值為R的定值電阻，下端開口，軌道間距為L(zhǎng)，圖甲中虛線所示邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與導(dǎo)軌重合的兩邊界的中點(diǎn)分別為a、b，在t=0時(shí)刻將質(zhì)量為m的金屬棒無(wú)初速放置于導(dǎo)軌上與ab連線重合的位置（電路中除電阻R外其余部分電阻不計(jì)，金屬棒沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)始終垂直于導(dǎo)軌，且與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)空氣阻力，設(shè)在以下討論的過(guò)程中金屬棒始終在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)），請(qǐng)分別針對(duì)下列兩種情況求解：
（1）若導(dǎo)軌光滑，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示，求金屬棒中電流的方向和金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m；
（2）若金屬棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（?＞tanθ），磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的圖象如圖丙所示，求t=0時(shí)刻穿過(guò)回路MPba的磁通量Ф和金屬棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

Answer 1

分析 （1）由左手定則即可判斷出電流的方向，當(dāng)安培力等于重力向下的分力時(shí)，向下的速度最大，由此即可求出；
（2）沒有磁場(chǎng)時(shí)，金屬棒靜止；由磁通量的定義式即可求出磁通量的大小，然后由法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合歐姆定律即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)導(dǎo)軌光滑時(shí)，金屬棒將沿導(dǎo)軌下滑，由右手定則可判斷出電流方向從b指向a
當(dāng)安培力等于重力向下的分力時(shí)，即：mgsinθ=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$時(shí)達(dá)到最大速度v_m，
整理得：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$
（2）由于金屬棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)?＞tanθ，所以如果沒有外加磁場(chǎng)時(shí)金屬棒在重力、支持力、摩擦力的作用下滿足：
mgsinθ＞μmgcosθ，將靜止于導(dǎo)軌上．
t=0時(shí)刻，B=B₀，穿過(guò)回路MPba的磁通量：Φ=BS=$\frac{{B}_{0}L}{2}$
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：$E=\frac{△Φ}{△t}$
通過(guò)回路的電流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{2}}{2R{t}_{1}}$   ①
金屬棒受到的安培力方向沿斜面向上，大小為：F_安=BIL   ②
磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間增大時(shí)，安培力隨之增大，在這個(gè)過(guò)程中靜摩擦力的方向先是沿斜面向上逐漸減小到零再反向增大到最大值，這個(gè)過(guò)程中金屬棒都保持靜止．
因此，當(dāng)滿足：F_安=mgsinθ+μmgcosθ   ③時(shí)，金屬棒開始運(yùn)動(dòng)
將①②③式聯(lián)立，解得金屬棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：
B=$\frac{2R{t}_{1}（mgsinθ+μmgcosθ）}{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{3}}$
答：（1）若導(dǎo)軌光滑，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示，金屬棒中電流的方向從b指向a，金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大速度為$\frac{mgRsinθ}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）求t=0時(shí)刻穿過(guò)回路MPba的磁通量為$\frac{{B}_{0}L}{2}$，金屬棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)刻的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{2R{t}_{1}（mgsinθ+μmgcosθ）}{（{B}_{1}-{B}_{0}）{L}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 電磁感應(yīng)常常與能量及受力結(jié)合，在分析此類問(wèn)題時(shí)要注意物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而靈活地選擇物理規(guī)律求解．