Question

如圖所示，兩平行金屬板A、B長(zhǎng)8cm，兩板間距離d=8cm，A板比B板電勢(shì)高300V，一帶正電的粒子電荷量q=10^-10C，質(zhì)量m=10^-20kg，沿電場(chǎng)中心線(xiàn)RO垂直電場(chǎng)線(xiàn)飛入電場(chǎng)，初速度υ₀=2×10⁶m/s，粒子飛出平行板電場(chǎng)后經(jīng)過(guò)界面MN、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域后，進(jìn)入固定在O點(diǎn)的點(diǎn)電荷Q形成的電場(chǎng)區(qū)域，（設(shè)界面PS右邊點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布不受界面的影響），已知兩界面MN、PS相距為12cm，D是中心線(xiàn)RO與界面PS的交點(diǎn)，O點(diǎn)在中心線(xiàn)上，距離界面PS為9cm，粒子穿過(guò)界面PS作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線(xiàn)上的熒光屏bc上．（靜電力常數(shù)k=9.0×10⁹N?m²/C²，粒子的重力不計(jì)）

（1）求粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線(xiàn)RO的距離多遠(yuǎn)？到達(dá)PS界面時(shí)離D點(diǎn)多遠(yuǎn)？
（2）在圖上粗略畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡．
（3）確定點(diǎn)電荷Q的電性并求其電荷量的大�。�

Answer 1

分析：（1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．由牛頓定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移h，由幾何知識(shí)求解粒子穿過(guò)界面PS時(shí)偏離中心線(xiàn)RO的距離．
（2）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在MN、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，界面PS右邊做圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線(xiàn)上的熒光屏bc上，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況即可畫(huà)出圖象．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向．粒子穿過(guò)界面PS后將繞電荷Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由庫(kù)侖力提供向心力，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，再牛頓定律求解Q的電量．

解答：解：（1）粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線(xiàn)RO的距離（側(cè)向位移）：
y=

1

2

at² 
a=

F

m

=

eU′

dm

，
 l=v₀t
y=

1

2

at2=

qU

2md

(

L

v0

)2=0.03m=3cm       
帶電粒子在離開(kāi)電場(chǎng)后將做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其軌跡與PS線(xiàn)交于a，設(shè)a到中心線(xiàn)的距離為Y．         
又由相似三角形得

L

l 2 +L

=

y

Y

 Y=4y=12cm 
（2）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在MN、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，界面PS右邊做圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線(xiàn)上的熒光屏bc上，圖象如圖所示：

（3）帶電粒子到達(dá)a處時(shí)，帶電粒子的水平速度：v_x=υ₀=2×10⁶m/s 
豎直速度：所以 υ_y=at=1.5×1⁶0m/s，
v_合=2.5×10⁶m/s          
該帶電粒子在穿過(guò)界面PS后將繞點(diǎn)電荷Q作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以Q帶負(fù)電．根據(jù)幾何關(guān)系：半徑r=15cm 
k

qQ

r2

=m

v2

r

解得：Q=1.04×10^-8C 
答：（1）求粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線(xiàn)RO的距離為3cm；到達(dá)PS界面時(shí)離D點(diǎn)12cm；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示；
（3）Q帶負(fù)電，電荷量為Q=1.04×10^-8C．

點(diǎn)評(píng)：本題是類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)．難點(diǎn)是運(yùn)用幾何知識(shí)研究圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．