(2011?長寧區(qū)一模)一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和 B.支架的兩直角邊長度分別為2l和l,支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),如圖所示.開始時(shí)OA邊處于水平位置,由靜止釋放,不計(jì)任何阻力.轉(zhuǎn)動(dòng)中設(shè)OA邊與水平方向的夾角為θ,則當(dāng)A球速度達(dá)最大時(shí)θ為
45°
45°
;假定支架未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩小球的總重力勢能為Eo,轉(zhuǎn)動(dòng)中當(dāng)A的速度為
8E0
9m
8E0
9m
時(shí)兩小球的總重力勢能為Eo/3.
分析:當(dāng)兩個(gè)小球系統(tǒng)的質(zhì)量中心最低時(shí)速度最大;也可以用解析法,先假設(shè)轉(zhuǎn)過θ,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒,列式求出速度的一般表達(dá)式,然后再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行討論即可.
解答:解:根據(jù)題意知,A、B兩球的角速度相等,線速度之比等于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比,為2:1,小球A、B系統(tǒng)中,只有重力勢能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化,系統(tǒng)機(jī)械能守恒,假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)θ,則OA桿與水平方向的夾角為θ,則A球減小的機(jī)械能等于B球增加的機(jī)械能,有
mg?2l?sinθ-2mg?(l-lcosθ)=
1
2
mv2
+
1
2
?2m?(
v
2
)
2

解得
v=
8
3
gl(sinθ+cosθ-1)

由數(shù)學(xué)知識(shí)知,當(dāng)θ=45°時(shí),sinθ+cosθ有最大值,故當(dāng)θ=45°時(shí),A球的速度最大;
重力勢能減小
2
3
E0
,故動(dòng)能增加
2
3
E0
,有
2
3
E0
=
1
2
m
v
2
1
+
1
2
?2m?(
v1
2
)
2

解得
v1=
8E0
9m

故答案為:45°,
8E0
9m
點(diǎn)評(píng):本題關(guān)鍵根據(jù)兩個(gè)球系統(tǒng)機(jī)械能守恒,運(yùn)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律列式得出速度與轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ之間的關(guān)系,然后根據(jù)速度表達(dá)式進(jìn)行討論.
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