Question

12．如圖所示，一個半徑為R的透明半球體固定在水平面上，O為球心．兩束藍光分別從A點和B點沿水平方向垂直入射面射入半球體，已知OA=OB，該球體對藍光的折射率為$\sqrt{3}$，真空中的光速為c．
?①若OA=$\frac{1}{2}$R時，兩束光在傳播過程中的交點為P，求OP的距離；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R時，求其中一束光在半球體中的傳播時間．

Answer 1

分析 ?①若OA=$\frac{1}{2}$R時，兩束光在傳播過程中的交點為P，先由幾何知識求出光線在圓弧面上的入射角，由折射定律求得折射角，再由幾何關系求OP的距離；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R時，可判斷出光線在半球體內發(fā)生全反射，作出光路圖，求出光線在半球中傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求得光線在半球內傳播速度，從而求得傳播時間．

解答 解：??①若OA=$\frac{1}{2}$R時，如下圖所示，由幾何知識可知

sinα=$\frac{OA}{R}$=$\frac{1}{2}$，α=30°，∠COD=60°
由折射定律知 $\frac{sinβ}{sinα}$=n=$\sqrt{3}$
可得 β=60°
由幾何關系知四邊形OCPD為菱形，OP=$\sqrt{3}$R
②?若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R時，如下圖所示，由幾何知識可知

sinθ=$\frac{OA}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°
設臨界角為C，則sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
則sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞sinC，θ＞C，所以光在C處發(fā)生全發(fā)射
△OCD和△ODE均為等邊三角形，光在D、E處均發(fā)生全反射
光在透明半球中傳播的路程 l=2Rcos60°+2R=3R
光在透明半球中傳播的速度大小 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
所以，傳播時間 t=$\frac{l}{v}$=$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$
答：?①若OA=$\frac{1}{2}$R時，兩束光在傳播過程中的交點為P，OP的距離是$\sqrt{3}$R；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R時，其中一束光在半球體中的傳播時間是$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$．

點評 本題的關鍵是要熟練掌握光的折射定律和全反射條件，結合幾何知識，即可研究這類問題．