Question

如圖所示，一個(gè)水平放置的圓桶繞水平軸O₁O₂勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，桶的半徑R=2m，桶壁很薄，壁上有一小圓孔P，當(dāng)圓孔運(yùn)動(dòng)到桶的正上方時(shí)，在孔的正上方h=3.2m處有一個(gè)小球由靜止開(kāi)始下落，已知圓孔的半徑略大于小球的半徑．試求：要使小球在整個(gè)下落過(guò)程中都不與桶壁碰撞，圓桶轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的所有可能值．

Answer 1

分析：小球若能從圓孔中進(jìn)去還正好從圓孔中出來(lái)，就不會(huì)跟圓筒相撞，否則就會(huì)相撞，設(shè)小球下落h所用時(shí)間t₁，經(jīng)過(guò)圓桶所用時(shí)間為t₂，求出這兩段時(shí)間，再求出圓筒的角速度的可能值．

解答：解：設(shè)小球下落h所用時(shí)間t₁，經(jīng)過(guò)圓桶所用時(shí)間為t₂，則h=

1

2

gt²
解得t₁=0.8 s
h+2R=

1

2

g（t₁+t₂）²
解得t₂=0.4 s
設(shè)圓桶的運(yùn)動(dòng)周期為T，故有：
nT=t₁（n=1，2，3，…）
（m-

1

2

）T=t₂    （m=1，2，3，…）
解得：T=

0.8

n

 （n=1，2，3，…）
且T=

0.8

2m-1

   （m=1，2，3，…）
故T=

0.8

2m-1

（m=1，2，3，…）
角速度為：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）
答：要使小球在整個(gè)下落過(guò)程中都不與桶壁碰撞，圓桶轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的可能值為：ω=

2π

T

=2.5π（2m-1）（m=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是自由落體運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，比較有新意，要抓住小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓筒的周期之間的關(guān)系求解，難度適中．