Question

（2009?安徽模擬）如圖所示，平行導(dǎo)軌豎直放置，上端用導(dǎo)線相連，中間跨接的金屬棒與導(dǎo)軌組成閉合回路．水平虛線L₁、L₂ 之間存在垂直導(dǎo)軌所在平面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律是B²=B₀²（1+ky），其中B₀和k 為已知量，y 為磁場(chǎng)中任一位置到L₁的距離．金屬棒從L₂處以某一速度向上運(yùn)動(dòng)進(jìn)人磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)L₁時(shí)其速度為剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)速度的一半，返回時(shí)正好勻速穿過(guò)磁場(chǎng)．已知金屬棒在導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)所受的摩擦力和重力之比為5：13，重力加速度為g，導(dǎo)軌上單位長(zhǎng)度的阻值是恒定的，其余的電阻不計(jì)．求：
（1）L_l到導(dǎo)軌上端的距離
（2）金屬棒向上運(yùn)動(dòng)進(jìn)人磁場(chǎng)的初速度與向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)人磁場(chǎng)的速度之比．
（3）金屬棒向上剛進(jìn)人磁場(chǎng)的加速度的大�。�

Answer 1

分析：1、設(shè)導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的阻值為λ，L₁位置到導(dǎo)軌上端的距離為x，磁場(chǎng)的高度為h₁，金屬棒以v₀向上進(jìn)入磁場(chǎng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后上升的最大高度為h₂，向下進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度為v．金屬棒在磁場(chǎng)中向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力為：F安=BIL=

B2L2v

2λ(x+y)

=

B02L2v(1+ky)

2λx(1+ y x )

，要使F_安不隨y的改變而改變，必須有k=

1

x

．
2、根據(jù)速度和位移的關(guān)系公式，列出金屬棒離開(kāi)磁場(chǎng)后的上升階段的方程(

v0

2

)2=2a上h2和金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)前的下落階段的方程v²=2a_下h₂，兩式相比可解出速度之比．
3、分別列出金屬棒向上和向下經(jīng)過(guò)L₁位置時(shí)所受的安培力，相比求出其關(guān)系，金屬棒向下進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速運(yùn)動(dòng)，其安培力F_下=mg-f，金屬棒向上進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小a=

mg+f+3(mg-f)

m

，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．

解答：解：設(shè)導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的阻值為λ，L₁位置到導(dǎo)軌上端的距離為x，
磁場(chǎng)的高度為h₁，金屬棒以v₀向上進(jìn)入磁場(chǎng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后上升的最大高度為h₂，
向下進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度為v．
（1）金屬棒在磁場(chǎng)中向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力為：
F安=BIL=

B2L2v

2λ(x+y)

=

B02L2v(1+ky)

2λx(1+ y x )

要使F_安不隨y的改變而改變，必須有k=

1

x

，即x=

1

k

．
（2）金屬棒離開(kāi)磁場(chǎng)后的上升階段有：(

v0

2

)2=2a上h2
金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)前的下落階段有：v²=2a_下h₂

( v0 2 )2

v2

=

a上

a下

=

mg+f

mg-f

=

9

4

得：

v0

v

=

3

1

（3）金屬棒向上和向下經(jīng)過(guò)L₁位置時(shí)所受安培力之比為：

F上

F下

=

B2L2v0 R

B2L2v R

=

v0

v

=

3

1

金屬棒向下進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速運(yùn)動(dòng)，其安培力F_下=mg-f
金屬棒向上進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度大小為：
a=

mg+f+3(mg-f)

m

=

42

13

g
答：（1）L_l到導(dǎo)軌上端的距離為x=

1

k

；
（2）金屬棒向上運(yùn)動(dòng)進(jìn)人磁場(chǎng)的初速度與向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)人磁場(chǎng)的速度之比

v0

v

=

3

1

；
（3）金屬棒向上剛進(jìn)人磁場(chǎng)的加速度的大小為

42

13

g．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是求解金屬棒在磁場(chǎng)中向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力，根據(jù)安培力的定義式F_安=BIL，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式討論要使F_安不隨y的改變而改變的情形．本題有一定的難度，屬于難題．