Question

10．如圖所示，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平．軌道上的A點離PQ的距離為$\frac{1}{2}$R，一質(zhì)量為m的質(zhì)點自P點正上方距離P點高h(yuǎn)=2R由靜止釋放，進(jìn)入軌道后剛好能到達(dá)Q點并能再次返回經(jīng)過N點．已知質(zhì)點第一次滑到軌道最低點N時速率為v₁，第一次到達(dá)A點時速率為v₂，選定N點所在的水平面為重力勢能的零勢能面，重力加速度為g，則（　�。�

• A． v₁=2$\sqrt{gR}$
• B． v₁＜2$\sqrt{gR}$
• C． 從N到Q的過程中，動能與勢能相等的點在A點上方，從Q到N的過程中，動能與勢能相等的點在A點下方
• D． 從N到Q的過程中，動能與勢能相等的點在A點下方，從Q到N的過程中，動能與勢能相等的點在A點上方

Answer 1

分析 根據(jù)質(zhì)點滑到Q點時，速度恰好為零，由能量守恒定律可以求出質(zhì)點在半圓軌道運動過程中克服摩擦力做的功，再求出將質(zhì)點自Q點處由靜止開始下落，下落到N點的速度，進(jìn)行比較，從而判斷出此情況下的情況即可．

解答 解：設(shè)質(zhì)點到達(dá)P點時的速度為v，根據(jù)動能定理有$mg2R=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-0$
解得${v}_{P}^{\;}=2\sqrt{gR}$
由題意由靜止釋放剛好能達(dá)到Q點，由動能定理有$mg2R-{W}_{f}^{\;}=0-0$得${W}_{f}^{\;}=2mgR$
因為從P到N每個點速度均大于N到Q每個點的速度，P到N的正壓力大于N到Q，P到N的摩擦力大于N到Q的摩擦力，所以P到N克服摩擦力做功大于mgR，由P到N由動能定理得$mgR-{w}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$＜0，所以${v}_{N}^{\;}＜{v}_{P}^{\;}$，即第一次滑到軌道最低點時的速率${v}_{1}^{\;}＜2\sqrt{gR}$，故B正確．
如果軌道光滑，物體在運動過程中不受摩擦力，上升過程中動能與重力勢能相等的位置在位移的中點A，現(xiàn)在由于要克服摩擦力做功，機械能減小，所以上升過程中動能與重力勢能相等的位置在A點上方，從Q到N的過程中，動能與勢能相等的點在A點下方．故C正確
故選：BC

點評 本題考查了能量守恒定律和牛頓第二定律的綜合運用，關(guān)鍵是抓住已知條件質(zhì)點滑到Q點時，速度恰好為零，求出此時質(zhì)點克服摩擦力做的功，再結(jié)合圓周運動知識進(jìn)行分析．