Question

9．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，有一以O(shè)為圓心、R為半徑的半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．位于O點(diǎn)的粒子源向第二象限內(nèi)的各個(gè)方向連續(xù)發(fā)射大量同種帶電粒子，粒子均不會(huì)從磁場(chǎng)的圓弧邊界射出．粒子的速率相等，質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0），粒子重力及粒子間的相互作用均不計(jì)．
（1）若粒子帶負(fù)電，求粒子的速率應(yīng)滿足的條件及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（2）若粒子帶正電，求粒子在磁場(chǎng)中能夠經(jīng)過(guò)區(qū)域的最大面積．

Answer 1

分析 （1）洛倫茲力提供向心力與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合求出半徑公式，根據(jù)幾何關(guān)系找到半徑的臨界值，即可求出粒子速率應(yīng)滿足的條件，分析所有粒子軌跡，找出時(shí)間最短的情況，運(yùn)用周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$，結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可求出粒子運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（2）畫(huà)出粒子從O點(diǎn)沿不同方向射入磁場(chǎng)時(shí)所經(jīng)過(guò)的區(qū)域求其面積即可．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
根據(jù)題意得幾何關(guān)系：r$≤\frac{R}{2}$…②
聯(lián)立①②式得：v≤$\frac{qBR}{2m}$
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$…③
通過(guò)比較所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡可得，沿y軸正向射入磁場(chǎng)中的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，
則：t=$\frac{T}{2}$…④
聯(lián)立③④式可得：t=$\frac{πm}{qB}$
（2）分析可得，粒子在磁場(chǎng)中能經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)榘雸A，如圖中陰影部分，

有幾何關(guān)系可得該半圓的半徑：r′=$\frac{1}{2}$R…⑤
面積：S=$\frac{1}{2}πr{′}^{2}$…⑥
聯(lián)立⑤⑥式可得：S=$\frac{1}{8}π{R}^{2}$
答：（1）若粒子帶負(fù)電，粒子的速率應(yīng)不大于$\frac{qBR}{2m}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$；
（2）若粒子帶正電，粒子在磁場(chǎng)中能夠經(jīng)過(guò)區(qū)域的最大面積為$\frac{1}{8}π{R}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，第一問(wèn)難度不大，第二問(wèn)對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，解題的關(guān)鍵是要作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑和圓心角，結(jié)合半徑公式、周期公式靈活求解．